Hello !

J’ai un devoir de thermo bien tordu, je ne cracherais pas sur un peu d’aide.

On a un cylindre en sapin plongé dans de l’eau chaude :
Ø = 400mm
Longueur = 4000mm
Température initiale : -35°C
Taux d’humidité : 90%
Température du bain : +40°C.

On peut admettre les autres valeurs comme par exemple la densité du bois, la conductivité thermique en cherchant nous-même les valeurs sur internet. Il faut juste les préciser sur la feuille.
Pour du sapin j’ai trouvé ça :
Cp=2720 [J/(kg*K)]
Densité : 470 [kg/m3]
Conductivité thermique : 0.12 [W/m*K]

La question qui (me) tue : Combien de temps met le centre du cylindre pour atteindre 5°C.

L’indice bonus: C’est plusieurs heures

Je ne demande pas forcément la solution, mais la démarche avec en prime les formules à appliquer.

tu connais le phenomene de diffusion thermique, et sa modelisation?

Non, pas du tout.
J'ai eu 6 mois de thermo en 2ème année. Visiblement, c'était pas assez...

Tu sais utiliser le coefficient de conductivité thermique non?

La conductivité thermique s'exprime en W*m^-1*K^-1
En gros c'est le nombre de joules qui passent toutes les seconde à travers une épaisseur de 1m sur une surface de 1m² et avec 1° d'écart de température.

C'est ce que je suis en train d'essayer de déchiffrer sur Wikipedia...

Si tu connais pas la loi de Fourier,ou l'équation de la chaleur, ton exo est infaisable.

J'ai trouvé un exercice qui semble s'en approcher :
https://www.utc.fr/~houde/TF06/TD_TF06.html
Avec ici la correction : https://www.utc.fr/~houdee/TF06/TF06_transitoire_07.pdf
Mais le fait d'avoir un changement d'état doit également influer sur le résultat.

J'ai trouvé un programme qui me donne le résultat, mais sans expliquer comment le calculer. D'après ce programme, je devrais trouver environ 25h.

[01:05:25] <mini-mouse>
La conductivité thermique s'exprime en W*m^-1*K^-1
En gros c'est le nombre de joules qui passent toutes les seconde à travers une épaisseur de 1m sur une surface de 1m² et avec 1° d'écart de température.

C'est ce que je suis en train d'essayer de déchiffrer sur Wikipedia...

Ça ne s'applique pas ici car la frontière est cylindrique et non plane

[10:44:52] <mini-mouse>
J'ai trouvé un exercice qui semble s'en approcher :
https://www.utc.fr/~houde/TF06/TD_TF06.html
Avec ici la correction : https://www.utc.fr/~houdee/TF06/TF06_transitoire_07.pdf
Mais le fait d'avoir un changement d'état doit également influer sur le résultat.

J'ai trouvé un programme qui me donne le résultat, mais sans expliquer comment le calculer. D'après ce programme, je devrais trouver environ 25h.

Beark, à vomir cette correction
Lire des valeurs dans des tables
Utiliser une "longueur caractéristique" totalement arbitrairement

Bref il faut poser les calculs, sinon tu ne peux pas avoir de résultats précis

Ouais, ben là je suis perdu.

Tu as le droit à résoudre en partie numériquement?
Tu dois considérer un transfert conducto-convectif? (Réservoir infini d'eau statique)
Une température fixée sur la paroie du cylindre? (Cas où il y a un courant qui empêche la bûche de refroidir l'eau à son contact)

Je suis sensé résoudre numériquement.
La température de l'eau ne change pas (on va pas compliquer le bord**).
Je ne sais pas quelle température a la paroi du cylindre. Je pensais que c'était la température de l'eau...

[17:15:20] <mini-mouse>
Je suis sensé résoudre numériquement.
La température de l'eau ne change pas (on va pas compliquer le bord**).
Je ne sais pas quelle température a la paroi du cylindre. Je pensais que c'était la température de l'eau...

Si tu places ton cylindre dans une petite bassine d'eau, la température de l'eau va baisser significativement

Si tu le places dans une piscine olympique, la température moyenne de l'eau ne va quasiment pas changer mais elle refroidira tout de même autour du cylindre, la température de la paroie ne sera pas à priori égale à celle de l'eau loin du cylindre

Si tu places ton cylindre dans un écoulement ce sera bien le cas cette fois ci

C'est pour ça que lorsque tu souffles sur ta cuillère, ta soupe de refroidi plus vite que simplement à l'air libre

Pour simplifier le problème je pense que tu dois te placer dans un écoulement, en plus tu n'as pas de donnée numérique à trouver pour le coefficient de transfert conducto-convectif comme ça.

La température est donc fixée à l'extrémité, ce cas est traité dans ce pdf page 45:

[14:54:26] <ForceAthletique>
T'as ce pdf très bien avec plein de cas traités, le tien l'est sûrement aussi http://www.thermique55.com/principal/thermique.pdf

Comme tu peux le voir, la solution fait intervenir les fonctions de Bessel (à cause de la géométrie cylindre) donc sans un peu d'analyse numérique on ne peut pas faire grand chose...

En python on peut se débrouiller, en passant par Laplace comme expliqué ça doit être plus simple mais j'ai jamais fait

C'est page 46 en fait désolé

En utilisant la formule 3.21 ?
C'est du lourd...

J'ai un collègue qui a résolu le problème en décomposant le problème. Il prend des couches de 1mm et en refait le calcul 200fois. Il n'a pas voulu m'expliquer exactement, mais il a fait ça sous excel (ce qui est autorisé, le prof accepte même les disquettes).
PTSI-PT, tu pourrais expliquer la formule plus en détail ?

La démonstration ou la formule en elle même ?

J0 et J1 sont les fonctions de Bessel, tu peux les trouver dans la librairie scipy de python ou sur wolframalpha, sinon tu peux calculer leur valeur à partir de leur développement en série entière

J1 vaut 0 en 0 donc sous cette forme l'équation n'est pas valable pour r=0, c'est un peu dommage vu que tu veux la température au centre
En fait c'est pas dit mais il doit falloir calculer la limite en 0 et faire un prolongement par continuité, mais puisque tu es en physique tu peux plutôt prendre r très petit devant R et calculer la température en r qui doit être très proche de celle en 0

Calculer les omega_n c'est pénible, il faut le faire numériquement
En python ça doit pouvoir se faire, il y a des fonctions numpy qui peuvent approximer les zéros d'une fonction (ici w:->J0(wr) )
Tout ça ça peut se faire en python, sinon wolframalpha peut le faire à ta place

Pour ce qui est de la formule dans le domaine de Laplace, je sais pas quel algorithme il est pertinent d'utiliser ici pour revenir dans le domaine temporel donc je peux pas t'aider

J'obtiens ~104h en résolvant numériquement avec wolfram mathematica

Le solveur a pas l'air d'aimer la discontinuité en r=R, ni la forme de l'équation en 0

Tu parles de cette formule ?