Salut,
j'ai un petit problème d'intégrale assez simple
Soit f une fonction continue et positive sur [0;1]
De plus, (en latex ) $$\int_{0}^{1}f(x)dx = 0 $$
Pour ceux qui ont pas de latex l'intégrale de 0 à 1 de f(x) dx = 0

Démontrer que , pour tout a appartenant à [0;1] , f(a) = 0

j'ai vu plein de corrections sur internet , j'avais cet exo dans un livre et j'ai la correction mais elle ne me convainc pas
donc si quelqu'un peut me justifier ça proprement ça serait parfait, merci

Si F est une primitive de f, tu as par ton égalité intégrale F(1)=F(0).

Ensuite, F est croissante sur [0,1] car sa dérivée (f) est positive sur [0,1].
Du coup pour un a quelconque de [0,1] on a : F(0)<=F(a)<=F(1)
Et comme F(0)=F(1), F est constante sur [0,1]. Donc f est nulle sur [0,1]

^ le vdd a répondu, mais j’ajouterai que tu le vois intuitivement en pensant l’integrale comme l’aire sous la courbe de f

En supposant que f ne soit pas nulle sur [0,1], il suffit simplement de rappeler la définition de la continuité. On pourra alors aboutir à une contradiction en minorant l'intégrale.

Merci beaucoup de votre aide, j'ai enfin compris !

Pour plus général, regardes le théorème des moments de Haussdorf

Ah ta méthode est jolie, moi je le fais élementairement en considérant un petit voisinage où f est >0