J'ai un problème quand à la démonstration du théorème d'Euclide :
D'après le PDF d'Animath, la voici, page 6 http://www.animath.fr/IMG/pdf/arith-base.pdf
Mes incompréhensions :
Dans le cas où a supérieur à 0 :
quand on pose r=a-bq, et que l'on encadre r entre 0 et b, pourquoi le seul fait de l'encadrer prouve son existence ?
Dans le cas a est inférieur à 0 :
On fait la division euclidienne a-ba par b et donc a-ba=bq'+r. Mais cela présuppose que l'on a prouvé qu'il existe un unique couple de réel tel que, a=bq+r. Or c'est ce que l'on doit prouver...

Autre question: je cherche à prouver l'unicité du PGCD et je trouve ma démonstration peu mathématique :
Raisonnement par l'absurde : soit d1 et d2 le PGCD (a, b) avec d1 différent de d2
On a donc d1 divise a et d2 divise a. Or, d1 et d2 sont par définitions les plus grands diviseurs. Même chose pour b. Donc d1=d2. Je trouve ce dernier passage limite, me demandant même si c'est une démonstration. Si quelqu'un avait une démonstration plus élégante je serai preneur

L'unicité du PGCD?
Soit E l'ensemble des diviseurs commun a à et b
E est un sous ensemble fini de N (puisque il contient au maximum les nombres entre 1 et max(a,b) )
Donc E admet un maximum qui est unique et qui est le PGCD de a et b

Le 05 août 2018 à 07:31:43 PTSI-PT a écrit :
L'unicité du PGCD?
Soit E l'ensemble des diviseurs commun a à et b
E est un sous ensemble fini de N (puisque il contient au maximum les nombres entre 1 et max(a,b) )
Donc E admet un maximum qui est unique et qui est le PGCD de a et b

1) le fait qu'il n'existe pas d1 différent de d2/ d1 et d2 respectent les propriétés du PGCD.
2) A condition que a ou b différent de 0
3) Si j'ai bien compris c'est parce que l'on passe par un sous- ensemble et qu'un ensemble n'admet pas de doublet, que l'on peut affirmer qu'il n'existe pas deux PGCD identiques mais je parlais dans le cas où deux nombres satisfairaient la propriété du PGCD. Par exemple si max(a,b) est divisible par 2. Il faut montrer (sans doute par l'absurde) que si max(a,b) est le PGCD, il ne peut avoir d'autre PGCD comme par exemple 2 si ce n'est un nombre qui lui est égal.

Up

Effectivement si on généralise la notion de PGCD à autre chose que N, et donc si l'on remplace la relation de divisibilité dans la définition du poly par une autre relation d'ordre, l'unicité du PGCD n'est plus assuré (et on a bien des structures algébriques dans lesquelles des éléments peuvent n'avoir aucun PGCD ou, au contraire, plusieurs).

C'est donc que l'unicité n'est pas contenue dans la définition générale du PGCD, par contre elle se déduit de celle donnée sur N d'une spécificité de la relation de divisibilité : son antisymétrie.

Si d1 et d2 sont deux PGCD de deux entiers, alors d'après la définition on a d1 | d2 et d2 | d1, et dans le cas de la relation de divisibilité sur N cela implique (mais tu peux t'amuser à le démontrer en revenant à la définition de la divisibilité sur N) que d1 = d2 et donc que le PGCD est, dans notre cas, unique.

A noter que, en vue de généraliser le PGCD, il faut comprendre que le mot "grand" dans cet acronyme se réfère non pas à la relation d'ordre usuelle sur les nombres réels, mais à celle de divisibilité.

À quelle généralisation du PGCD tu fais référence Jooord ? La seule que je vois c'est la borne inf (ou si on veut faire le malin, le produit cartésien en théorie des catégories, dont la borne inf est un cas particulier), mais dans les deux cas on a bien unicité. Par contre effectivement, l'existence n'est pas assurée, mais on peut pas en avoir plusieurs.

Aussi, toute relation d'ordre est antisymetrique par définition.

Bonjour Niverolle,

je ne suis pas en mesure de faire des recherches internet avec mon téléphone archaïque donc j'ai rédigé mon post précédent sur mes souvenirs d'algèbre commutative où il me semble que dans des bons anneaux (commutatifs et intègre a minima je dirai) on peut définir une notion de PGCD de façon similaire à ce qui est fait dans le poly, non pas avec une relation d'ordre comme je l'ai faussement dit mais avec la notion d'idéaux qui permet de généraliser la division, un truc du genre :

d est un PGCD de (a,b) si pour tout élément d' tel que ( (d') contient (a) et (b) ) => ( (d') contient (d) ) où (x) désigne l'idéal engendré par x.

Par exemple il me semble qu'on puisse parler de PGCD dans des anneaux d'entiers du type entiers de Gauss et que dans ceux-ci les éléments peuvent admettre plusieurs PGCD, mais faut que je mette les mains à la pâte pour trouver un exemple.

En fait je crois bien qu'on a pas besoin de partir sur des exemples de structures complexes : Sur Z, il y a toujours deux PGCD : un positif et son opposé négatif.

Ah oui, j'avais oublié ces trucs là. J'étais à côté de la plaque