Bonsoir, petite question toute bête sur des relations d'équivalence

Soit R la relation d'équivalence (D) et (D)' ne sont pas sécantes.
Autrement dit, (D) et (D)' sont parallèles.

Enoncé : quelles sont les classes d'équivalence ? Quel est l'ensemble quotient ?

Petit problème je ne vois pas de classe d'équivalence si ce n'est les deux partitions suivantes
- D et D' sont deux droites distinctes et parallèles
-D et D' sont confondues et donc par convention parallèles.
Mais ça me paraît bizarre. Des idées de différents cas de parallélisme ?
D'ailleurs de ce fait, (E)/R=2

Bonne soirée

Il y a une infinité de classes d'équivalence. Si D est une droite, toute droite D' qui n'est pas parallèle à D est dans une classe d'équivalence différente.

En fait tu peux identifier l'espace quotient à [0,pi[ par exemple, en considérant l'angle entre l'axe des abscisses et ta droite (celui ci sera le même pour tous les éléments d'une classe d'équivalence).

Ce que je ne comprends pas c'est qu'une relation binaire (ici d'équivalence) sur un ensemble (E) par exemple, le ramifie en partitions répondant à la même relation mais dans un autre cas de figure.
Je comprends donc ton exemple mais la relation R traite des droites parallèles et pas des droites sécantes. Il faut donc trouver différents cas de parallélisme pour définir les différentes classes d'équivalence.
Ou est-ce que je me trompe ?
Merci encore

Il n'y a pas "différents cas de parallélismes". Lorsque tu passes au quotient, toutes les droites qui sont parallèles entre elles sont considérées comme étant un seul et même élément, c'est comme si tu les fusionnais. Cet élément c'est l'une des classes d'équivalence.

Je pensais que les classes d'équivalence étaient définies par rapport à une relation R définie sur un ensemble (E). Par exemple dans N si on a (R) : soient les couples dont le reste de la division euclidienne par 3 est égale on a trois classes d'équivalence : 1) les multiples de 3, 2) les nombres dont le reste est 1, 3) les nombres dont le reste est 2. N est départagé en fonction de la relation R

Dans notre cas, je comprends ce que tu veux dire si on considère la relation (R) classez deux droites du plan en classe d'équivalence mais sachant que l'on doit définir des classes par rapport à la relation R qui présuppose que les deux droites sont que parallèles, on pourrait se dire que (R) ramifie en deux partitions les droites parallèles : les droites confondues et distinctes... De ce fait, l'ensemble quotient vaut 2.

En gros dans notre ensemble (ici les droites du plan) on défini la relation R (parallélisme) et je regarde en combien de "parties" cette relation R "ramifie" en classe d'équivalence.

Peux-tu me dire où est mon erreur de raisonnement ? D'ailleurs qu'entends-tu par passer au quotient ?
J'ai commencé la théorie des ensembles il y a deux jours, désole si je suis un peu lent

Je pensais que les classes d'équivalence étaient définies par rapport à une relation R définie sur un ensemble (E). Par exemple dans N si on a (R) : soient les couples dont le reste de la division euclidienne par 3 est égale on a trois classes d'équivalence : 1) les multiples de 3, 2) les nombres dont le reste est 1, 3) les nombres dont le reste est 2. N est départagé en fonction de la relation R

Tout à fait, tu as bien compris cet exemple.

Maintenant considérons l'ensemble des droites du plan et la relation de parallélisme. Soit D la droite d'équation y = 3x + 4. Peux-tu déterminer la classe d'équivalence de D ? Même question avec D' d'équation y = -5x +2. Même question avec D'' d'équation x = 8.
Est-ce que tu vois mieux la partition de E qu'on est en train de construire ?

Tout à fait, on classe les droites en fonction de leur c.d. (inclinaison)
(D) est l'ensemble des droites de c.d. 3, ..., (D)'' de c.d. + infini (parallèle à l'axe des ordonnées)
Je comprends dans ce sens que les droites parallèles sont une partition de l'ensemble des droites d'un plan.

La dernière imprécision est celle de l'énoncé : pour moi, l'ensemble dans lequel on établit les partitions n'est pas l'ensemble des droites du plan mais l'ensemble des droites parallèles (même si ça ne serait pas exhaustif).
En effet l'énoncé est tel quel : montrer que (R) est une relation d'équivalence (par opposition à (R') : D et D' sont sécantes) Quelles sont les classes d'équivalences (ce qui sous-entend qu'on ne considère pas les droites parallèles comme une classe d'équivalence mais bien comme un ensemble) ? . Quel est l'ensemble quotient ?

Cette relation définit bien une partition de l'ensemble des droites du plan, de la même façon que dans l'autre exemple tu as défini une partition de N.
Que veux-tu dire par "l'ensemble des droites parallèles" ?

Je pense que je viens de comprendre : les partitions que l'on cherche sont les différents coefficients directeurs des droites parallèles qui les caractérise par rapport à l'ensemble des droites parallèles. Je pensais qu'il fallait subdiviser cet ensemble des droites parallèles en sous groupe de la manière dont elles étaient parallèles (distinctes, confondues), ce qui d'ailleurs n'a rien donné mathématiquement au lieu de penser à ce qui différencier différentes droites parallèles dans un repère (angle).
Surtout, j'ai fait une grosse confusion car je considérais l'ensemble des droites du plan comme référentiel et les droites sécantes, parallèles comme classes d'équivalence... au lieu de prendre l'ensemble des droites parallèles comme référentiel.

Donc les classes d'équivalences sont l'ensemble des valeurs de 0 à pi (modulo pi) et E/R=+inf

Dernière question : il existe-t'il des classes d'équivalence de classes d'équivalence : par exemple on redécompose l'ensemble des nombres dont le reste de la division euclidienne vaut 1 et encore x sous-classes d'équivalence? Quelle est alors son nom ? Ce phénomène de mise en abîme peut-il être infini (en théorie) si on considère un ensemble dont le cardinal est infini ?

Merci !

Donc les classes d'équivalences sont l'ensemble des valeurs de 0 à pi (modulo pi) et E/R=+inf

Non les classes d'équivalence ce sont des ensembles de droites qui ont toutes le même coefficient directeur. A chaque coefficient directeur possible (y compris l'infini pour les droites verticales) correspond une et une seule classe d'équivalence.
E/R c'est l'ensemble des classes d'équivalence, c'est pas +inf. Tu confonds l'ensemble quotient avec son cardinal.

Dernière question : il existe-t'il des classes d'équivalence de classes d'équivalence

Rien ne l'interdit. Un ensemble quotient c'est un ensemble comme un autre, donc tu peux définir une relation d'équivalence dessus, et quotienter par rapport à cette relation.

Oui mais pour un coefficient directeur donné, il est possible dans un repère donné, de le caractériser par rapport à un angle formé entre la droite et l'axe des abscisses.
S'agit-il de différencier des propriétés géométriques et arithmétiques ? On parlerait alors de classe d'équivalence en fonction de notion numérique ?
D'ailleurs je dis ça car tu n'as pas parlé d'ensemble quotient mais d'espace quotient : "En fait tu peux identifier l'espace quotient à [0,pi[ par exemple, en considérant l'angle entre l'axe des abscisses et ta droite (celui ci sera le même pour tous les éléments d'une classe d'équivalence)"

Et donc E/R c'est l'ensemble des coefficient directeurs possibles des droites parallèles, avec Card (E/R)=+infini

Merci

Oui mais pour un coefficient directeur donné, il est possible dans un repère donné, de le caractériser par rapport à un angle formé entre la droite et l'axe des abscisses.

Tout à fait, c'est pour ça que je dis qu'on peut identifier l'espace quotient à [0,pi[ par exemple, mais c'est à comprendre au sens où il y a une bijection entre l'ensemble des classes d'équivalence (l'espace quotient) et [0,pi[. De la même façon il y a bijection entre l'espace quotient et ]-inf, +inf] en considérant les coefficients directeurs.

MAIS les classes d'équivalences ne sont ni des angles ni des réels, ce sont des sous-ensembles de E. L'espace quotient est donc un ensemble de sous-ensembles de l'ensemble des droites du plan.