Salut, j'étais en train de réviser ce cours et j'ai plusieurs questions (probablement assez debiles).

• Est-ce qu'on est d'accord pour dire qu'on a ces inégalités ?
• Je sais que la tribu engendrée par une variable aléatoire réelle est mais pour une variable à valeurs dans N, il y a possibilité de l'écrire avec les {X=i} ?
• Pourquoi si X et Z ont même tribu engendrée alors E(Y|X) = E(Y|Z) ?

Merci beaucoup.

pas d'accord avec les égalités (je vois pas d'inégalités). Tu intègres par rapport aux mesures images, alors tu dois intégrer sur N*N pas sur Omega. Et lorsque que tu intègre par rapport à la mesure produit, c'est que implicitement tu supposes que X et Y sont indep ce qui n'est pas forcément le cas

Pour la dernière c'est par définition de e (x/y) , qui est l'espérance conditionnelle de x sachant la tribu engendrée par y

Le 01 août 2018 à 13:03:01 csamy81 a écrit :
pas d'accord avec les égalités (je vois pas d'inégalités). Tu intègres par rapport aux mesures images, alors tu dois intégrer sur N*N pas sur Omega. Et lorsque que tu intègre par rapport à la mesure produit, c'est que implicitement tu supposes que X et Y sont indep ce qui n'est pas forcément le cas

Ok merci. En fait tout ce qu'on peut dire c'est la relation (1) : ?
Et on n'a pas la relation (3) ? Enfin c'est pas égal si A est un élément de la tribu ?

Le 01 août 2018 à 13:36:03 quine_ a écrit :
Pour la dernière c'est par définition de e (x/y) , qui est l'espérance conditionnelle de x sachant la tribu engendrée par y

Ok mais ce qui me gênait c'est l'une des dernières phrases "cette formule montre que e(y|x) ne dépend que de la tribu engendrée par X". Je vois pas comment la formule nous montre ça ? Merci sinon.

Ah et autre question, comment montrer ? Pour l'égalité 1, j'arrive à montrer l'inclusion droite gauche mais pas gauche droite. Pour l'égalité 2, ça doit venir du fait que les (Ai) forment une partition de Oméga mais comment s'en servir ?

Merci.

Tu as X : Oméga ----> N, où N est muni de la tribu de l'ensemble des parties. sigma(X) = { X^{-1}(J), où J est une partie de N}, par définition de la tribu engendrée par une variable aléatoire. Or X^{-1}(J) est la réunion des A_i, pour i appartenant à J, par définition des A_i. Donc sigma(X) est bien égal au membre de droite.

Maintenant pour montrer que T := sigma({A_i}, i dans N}) est égal au membre de droite que je note S, on revient à la définition de la tribu engendrée par un ensemble de parties. T est par définition la plus petite tribu qui contient les A_i. Donc pour montrer que S = T, il suffit de montrer que :
1) S est une tribu contenant les A_i.
2) si une tribu contient les A_i, alors elle contient S.

Ces deux affirmations ne sont pas difficiles à montrer.

Effectivement, merci !

Salut.

J'essayais de faire des exercices d'application mais certains trucs m'échappent.
Par exemple, si X suit une loi normale N(0,1), et que je veux calculer E[X^3 | X^2] : X^3 = X^2 * X et que X^2 est sigma(X^2)-mesurable alors E[X^3 | X^2] = E[X | X^2] * X^2 mais comment conclure ?

Deuxième question, si X et Y sont deux va indépendantes de même loi uniforme U([0,1]), comment calculer E[X | XY] et E[Y | XY] ? Je peux calculer facilement la loi de XY mais comme ni X ni Y sont indépendants de XY, je ne sais pas comment faire.

Merci beaucoup.

Intuitivement, si X^2 = y, alors X vaut sqrt(y) ou -sqrt(y), les deux avec probabilité 1/2, puisque X suit une N(0,1). Donc E[X | X^2 = y] = 0, et donc E[X | X^2] = 0.
Pour le vérifier tu peux revenir à la caractérisation de l'espérance conditionnelle. E[X | Y] est l'unique variable aléatoire Y-mesurable telle que pour tout Z sigma(Y)-mesurable, E[XZ] = E[E[X | Y]Z].
Donc tu veux montrer que pour toute variable aléatoire Z sigma(X^2)-mesurable, E[XZ] = 0. Or si Z est sigma(X^2)-mesurable, on peut écrire Z = g(X²) où g est une fonction borélienne.
Donc E[XZ] = E[Xg(X²)] = intégrale de x*g(x²)*phi(x) dx = 0 par imparité (avec phi la densité de X).

Pour ton autre question, j'ai calculé la loi du couple (X,XY), j'en ai déduit la loi de XY, puis la loi conditionnelle de X sachant XY en utilisant la formule de Bayes. Enfin j'ai calculé l'espérance de cette loi conditionnelle (qui est l'espérance conditionnelle). La méthode est bonne, mon résultat pas forcément car c'est un peu chiant comme calcul. Je trouve E[X | XY = z ] = (z-1)/ln(z). Et pour l'autre c'est évidemment la même chose.

Le 03 août 2018 à 19:01:47 Prauron a écrit :
Intuitivement, si X^2 = y, alors X vaut sqrt(y) ou -sqrt(y), les deux avec probabilité 1/2, puisque X suit une N(0,1). Donc E[X | X^2 = y] = 0, et donc E[X | X^2] = 0.
Pour le vérifier tu peux revenir à la caractérisation de l'espérance conditionnelle. E[X | Y] est l'unique variable aléatoire Y-mesurable telle que pour tout Z sigma(Y)-mesurable, E[XZ] = E[E[X | Y]Z].
Donc tu veux montrer que pour toute variable aléatoire Z sigma(X^2)-mesurable, E[XZ] = 0. Or si Z est sigma(X^2)-mesurable, on peut écrire Z = g(X²) où g est une fonction borélienne.
Donc E[XZ] = E[Xg(X²)] = intégrale de x*g(x²)*phi(x) dx = 0 par imparité (avec phi la densité de X).

Très bien merci. Est ce que je pouvais dire qu'on était dans L1 et donc ||X|| = E(X) donc comme ||E(X | X^2)|| < ||X|| = 0 alors E(X|X^2) = 0 et on conclut ?

Le 03 août 2018 à 21:43:28 Prauron a écrit :
Pour ton autre question, j'ai calculé la loi du couple (X,XY), j'en ai déduit la loi de XY, puis la loi conditionnelle de X sachant XY en utilisant la formule de Bayes. Enfin j'ai calculé l'espérance de cette loi conditionnelle (qui est l'espérance conditionnelle). La méthode est bonne, mon résultat pas forcément car c'est un peu chiant comme calcul. Je trouve E[X | XY = z ] = (z-1)/ln(z). Et pour l'autre c'est évidemment la même chose.

Merci, j'essaye demain !

Non tu peux pas dire ça parce que ||X|| = E(|X|).
Je rappelle que ||X|| = 0 => X = 0 p.s.

Ah oui merde, merci.

Kwns tu es en quelle année ?