Salut ! Je me demandais s'il existait une preuve directe, courte et élégante à l'exo suivant (le point a) :

Je vais pas trop détailler ma démo, mais, en gros, je pars sur une récurrence forte en supposant la propriété vraie pour tout k entre 0 et n.

Par définition de u(n) et par hypothèse de récurrence, il vient :

u(n+1)≥⌊(n+1)/2)⌋+1+⌊(n+1)/3⌋+1+⌊(n+1)/6⌋+1

Or, on peut montrer par récurrence que

u(n+1)≥⌊(n+1)/2)⌋+1+⌊(n+1)/3⌋+1+⌊(n+1)/6⌋+1≥(n+1)/2 + (n+1)/3 +(n+1)/6 +1

= n+2

D'où :
u(n+1)≥n+2

Voilà, je me demande si on peut y arriver sans passer par une seconde récurrence.
Merci et désolé pour la rédaction, je ne maîtrise pas LaTex, tout est plus rigoureux sur ma copie

La définition de la partie entiere te donne une inégalité stricte,
⌊(n+1)/2)⌋+1+⌊(n+1)/3⌋+1+⌊(n+1)/6⌋+1 > (n+1)/2 + (n+1)/3 +(n+1)/6 ,
donc
⌊(n+1)/2)⌋+1+⌊(n+1)/3⌋+1+⌊(n+1)/6⌋+1≥(n+1)/2 + (n+1)/3 +(n+1)/6 +1

par contre bonne chance pour la 2, une des seules questions du pdf que j'ai pas réussies

Merci ! Je m'attaque au b alors

Cet exo est débile et te servira à rien par la suite

une solution: SpoilAfficherMasquerOn prouve trivialement par récurrence forte que $\forall n\geq 1, u_n\leq 3n$, et donc évidemment $\forall n\geq 0, u_n\leq 3(n+1)$

PS: la preuve de convergence de la suite