Salut, dans la correction de l'exo 10, je comprends pas la deuxième inclusion : http://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=mathspe/feuillesexo/topoevn&type=fexo

Ça sort d'où z=x+(R−ε)y−xR ?

Même en y réflechissant pendant 2h, j'aurais jamais pu trouver un truc pareil

Merci

Pour faire la deuxième inclusion à savoir boule fermée incluse dans adhérence boule ouverte, on prend un $y$ dans la boule fermée $B_F (x,R)$ et on doit montrer qu'il est limite d'éléments qui sont dans la boule ouverte $B(x,R)$. L'idée, c'est de partir de $x$ est de tendre tout doucement vers $y$ mais en restant dans la boule ouverte.
Du coup je vais prendre des éléments de la forme $(1-t)x + ty$ avec $0 \leq t < 1$, en gros je pars de $x$ et je me balade sur un rayon qui se termine en $y$.
Tu peux vérifier que ces éléments sont bien dans la boule ouverte mais la limite quand $t \rightarrow 1$ est bien $y$

Le 08 juillet 2018 à 15:50:08 Sureminence a écrit :
Pour faire la deuxième inclusion à savoir boule fermée incluse dans adhérence boule ouverte, on prend un $y$ dans la boule fermée $B_F (x,R)$ et on doit montrer qu'il est limite d'éléments qui sont dans la boule ouverte $B(x,R)$. L'idée, c'est de partir de $x$ est de tendre tout doucement vers $y$ mais en restant dans la boule ouverte.
Du coup je vais prendre des éléments de la forme $(1-t)x + ty$ avec $0 \leq t < 1$, en gros je pars de $x$ et je me balade sur un rayon qui se termine en $y$.
Tu peux vérifier que ces éléments sont bien dans la boule ouverte mais la limite quand $t \rightarrow 1$ est bien $y$

Ok merci je comprends l'idée. Mais du coup j'arrive pas à faire le lien avec z=x+((R−ε)(y−x)/R)
Et puis pourquoi t est compris entre 0 et 1 ?

[0;1] c'est un choix arbitraire, il aurait aussi pu prendre [-34,5 ; pi] par exemple (mais [0;1] est le plus classique pour ce genre de trucs)
z=x+z=x+(R−ε)(y−x)/R c'est juste un moyen de trouver un point z qui appartient à la boule ouverte arbitrairement proche de y (en faisant tendre epsilon vers 0)

Ok c'est bon j'ai pigé le truc, c'est une méthode classique qu'on retrouve souvent ? car perso j'y aurai jamais pensé

J'comprends pas non plus comment on a la dernière partie, avec ||z-x|| =< ε. Je le vois bien en faisant en dessin, mais je comprends pas comme ça a été démontré

Up

Tu veux dire ||z-y || =< epsilon ?

Y'a rien à penser ici il s'agit juste de traduire mathématiquement ce que tu vois sur le dessin ; ça viendra avec l'habitude.

x est le centre de la boule
y est sur la bordure de la boule
(y - x) est le vecteur qui va de x vers y (donc, de norme R)

On va choisir z sur le segment [x, y], le plus proche possible de y.
Si tu prends z = x + t (y-x), avec t entre 0 et 1, intuitivement ça veut dire "je pars de x, et je me déplace selon le vecteur (y-x)". Le paramètre t te dit quelle fraction du vecteur tu parcours. Pour t=0, tu as pas bougé donc z=x ; pour t=1, tu te retrouves en z=y.
Faut juste choisir t suffisamment proche de 1 pour que la distance entre z et y soit <ε. Ici on prend t = (R−ε)/R et on vérifie que ça marche.

J'comprends pas non plus comment on a la dernière partie, avec ||z-x|| =< R-ε. Je le vois bien en faisant en dessin, mais je comprends pas comme ça a été démontré

||z-x|| = || t(y-x) || = t R
avec t = (R−ε)/R ça marche. Pareil pour || z-y ||

C'est juste que
z-y = epsilon/R (x-y), et comme ||x-y|| = R...

Merci à vous deux et pour vos explications, j'ai bien compris l'essentiel maintenant

Alors si j'utilise ta méthode Prauron (que j'avais utilisé au départ), ça me donne ça :

|| z-x || = || z-y+y-x || =< || z-y || + || y-x || = || ε/R (x-y) || + R = ( ε/R * || x-y || ) + R = (ε/R * R ) + R = ε + R

Je ne me vois pas mon erreur

Y'a pas d'erreur dans ton calcul, c'est juste que c'est pas l'inégalité triangulaire qu'il faut utiliser ici.

z-y = epsilon/R (x-y) donc ||z - y|| = epsilon/R * ||x - y|| = epsilon/R * R = epsilon.

Ok merci

Je voudrai revenir sur un petit truc

Quand je fais le dessin suivant, j'ai pas || z-x || =< R - ε, alors que c'est censé être pour toute boule de centre y et de rayon ε

Ce que tu veux c'est z ∈ B (ou autrement dit, ||z - x|| < R), et ||z - y|| ≤ ε.
Sur ton dessin les deux conditions sont bien vérifiées, donc le z que tu as dessiné convient.
Tu n'as pas besoin de prouver || z-x || =< R - ε.

Par contre dans le corrigé le z qu'ils prennent n'est pas celui de ton dessin. Le point z du corrigé c'est le point d'intersection entre le cercle bleu et le segment rouge sur ton dessin.
Celui-ci vérifie bien || z-x || =< R - ε, et donc, en particulier, || z-x || < R

Le 11 juillet 2018 à 19:35:56 Seins_en_MP_SVP a écrit :
Ce que tu veux c'est z ∈ B (ou autrement dit, ||z - x|| < R), et ||z - y|| ≤ ε.
Sur ton dessin les deux conditions sont bien vérifiées, donc le z que tu as dessiné convient.
Tu n'as pas besoin de prouver || z-x || =< R - ε.

Par contre dans le corrigé le z qu'ils prennent n'est pas celui de ton dessin. Le point z du corrigé c'est le point d'intersection entre le cercle bleu et le segment rouge sur ton dessin.
Celui-ci vérifie bien || z-x || =< R - ε, et donc, en particulier, || z-x || < R

Tout est compris, merci à tous ceux qui m'ont répondu.