Bonjour,
page 3 exercice 2 (Ensembles dénombrables II). + correction page 8 : https://www.lpsm.paris/pageperso/bolley/3M263-recueilex.pdf

Question a). Je ne comprends pas pourquoi si on le démontre pour X = IN, ça marche tout le temps. On ne devrait pas le démontrer pour un ensemble quelconque ?

En cours j'ai eu le même question, et on a répondu ça

Mais d'où sort le X^n ? C'est un cas qu'on ressort souvent ? Si vous pouviez m'expliquer ça m'aiderait bien car je suis perdu

Merci

Si X est dénombrable, X est en bijection avec N. Donc si l'ensemble des parties finies de N est dénombrable, l'ensemble des parties finies de X l'est aussi. Donc il suffit de montrer le résultat pour N.

On introduit le produit cartésien X^n parce qu'on a une injection de l'ensemble des parties finies à n éléments de X dans X^n. X^n étant dénombrable, ça prouve la denombrabilité de l'ensemble des parties finies de X qui ont n éléments.

Ok je vois
Mais il y a d'autres ensembles qui vérifient l'injectivité hormis X^n ?
Enfin je veux dire, ici on a utilisé X^n, mais on aurait pu utiliser quel autre ensemble ?

n'importe quel ensemble dénombrable
X^n est celui qui sort le plus naturellement car une partie de X à n éléments peut se ramener à un n-uplet d'éléments de X, et comme X est en bijection avec N, X^n est en bijection avec N^n donc dénombrable (le travail est déjà "pré-mâché" par l'exercice d'avant )

On pourrait aussi choisir le sous-ensemble de X^n des éléments dont les coordonnées sont distinctes, et là on aurait carrément une bijection. On pourrait aussi prendre un sur-ensemble dénombrable de X^n et bricoler une injection qui va bien. Mais c'est se compliquer la vie inutilement, l'argument marche avec X^n et c'est le truc qui vient naturellement à l'esprit quand on cherche à injecter P_{f,n}(X) dans un ensemble dénombrable.

Ok merci j'ai compris

Autre question :

J'ai bien compris pourquoi

On introduit le produit cartésien X^n parce qu'on a une injection de l'ensemble des parties finies à n éléments de X dans X^n.

Mais pourquoi peut-on affirmer qu'on a une surjection de X^n dans l'ensemble des parties finies à n éléments de X ?

Si on a une injection de E vers F, on a nécessairement une surjection de F vers E ?

oui
"il existe une injection de E vers F" <=> card(E) <= card(F)
"il existe une surjection de F vers E" <=> card(F) >= card(E)
c'est équivalent
(attention à l'ensemble vide qui peut troller la définition de surjection)