Bonjour, je ne comprends pas la correction de la question 2, c'est pour cela que je demande votre aide. Je vous poste l'énoncé. Le "β" est un B manuscrit, je n'ai juste pas trouvé le caractère correspondant.

Soit X un ensemble.
1. Soit (β_i)i∈I une famille de tribus sur X. Montrer que ∩β_i (i∈I) est une tribu sur X.
2. Soit A ⊂ P(X). Déduire de 1. qu'il existe une plus petite tribu σ(A) contenant A.

La question 1 c'est ok. Je vous mets le corrigé de la 2. et mes incompréhensions en gras :

Soit A ⊂ P(X).
Soit D l'ensemble de toutes les tribus M sur X contenant A

D est non-vide puisqu'il contient la tribu P(X).
On pose β = ∩M (M∈D). Comment cette idée peut-elle venir intuitivement ?
Montrons que β est la plus petite tribu contenant A.

β est une tribu car c'est une intersection de tribus.

Pour chaque M∈D, A∈M donc A ⊂ ∩M (M∈D) = β

Soit M' une tribu sur X contenant A avec M'⊂B. Même question qu'avant, comment peut-on trouver toutes ces hypothèses ?
D'autre part, β = ∩M (M∈D) ⊂ M'. En quoi l'intersection de toutes les tribus M qui contiennent A, est incluse dans une tribu quelconque qui contient A ?

Donc β = M'. On a fait un raisonnement par double-inclusion, mais en quoi on a répondu à la question ?

Merci

C'est un raisonnement classique en mathématiques, dès qu'on a un certain type d'ensemble stable par intersection, on arrive à montrer qu'il en existe un plus petit qui respecte une condition. Ici on cherche la plus petite tribu qui contient A, vu qu'on ne sait rien sur A, on peut pas expliciter une plus petite tribu qui la contiendrait. C'est donc naturellement qu'on prend tous les tribus qui contiennent A et on fait leur intersection, ça reste une tribu d'après la question 1) et forcément si tu prends une tribu quelconque qui contient A alors notre intersection est contenue dedans puisque notre tribu quelconque est une tribu qui contient A

Comment cette idée peut-elle venir intuitivement ?

A la question d'avant on te demande de montrer qu'une intersection de tribus est une tribu, et dans cette question là on te demande bien de "déduire". Ça pousse clairement à considérer une intersection de tribus pour répondre à la question.
D'ailleurs l'intersection de plusieurs ensembles, c'est plus petit que ces ensembles, donc rien de particulièrement étonnant dans le fait de considérer une intersection. (Puisque justement on cherche un ensemble le plus petit possible).

Soit M' une tribu sur X contenant A avec M'⊂B. Même question qu'avant, comment peut-on trouver toutes ces hypothèses ?

Quelles hypothèses ? Juste avant on te dit "nous allons montrer que la tribu machin est bien la plus petite possible vérifiant les hypothèses". Pour montrer que c'est la plus petite possible, tu prends une tribu quelconque, et tu montres que ta tribu quelconque est plus grande la tribu machin.

D'autre part, β = ∩M (M∈D) ⊂ M'. En quoi l'intersection de toutes les tribus M qui contiennent A, est incluse dans une tribu quelconque qui contient A ?

Bon ça c'est très clair en fait : c'est l'intersection de toutes les tribus qui contiennent A. Or M' est une tribu qui contient A. Donc M' est l'une des tribus qu'on intersecte.
Or AinterB c'est inclus dans A. Et donc l'intersection de M' avec les autres tribus, est bien inclue dans M'.

Donc β = M'. On a fait un raisonnement par double-inclusion, mais en quoi on a répondu à la question ?

On a trouvé une tribu qui contenait A et qui est la plus petite possible au sens de l'inclusion, puisque si une tribu M' est contenue dans beta, alors M'=beta. On ne peut pas trouver plus petit, c'est bien ce qu'on demandait de prouver, qu'il y a un élément minimal.

Merci à vous, je comprends déjà mieux.
J'ai quand même toujours du mal avec ce passage (Soit M'...) :

Montrons que β est la plus petite tribu contenant A.
[...]
Soit M' une tribu sur X contenant A avec M'⊂B.

- Si β est la plus petite tribu contenant A, comment on peut avoir une tribu contenant A incluse dedans ? β n'est plus la plus petite du coup

- De plus, on n'a pas montré que M' était inclus dans B, on l'a juste supposé

Un ensemble est inclus dans lui-même.
Si le seul sous-ensemble de B que tu trouves (et qui vérifie les hypothèses) c'est B lui même, alors c'est qu'il n'en existe pas de strictement plus petit que B.

Oui, on montre que si M' ⊂ B alors M = B ; autrement dit, B est la plus petite tribu contenant A.
C'est un raisonnement classique pour montrer qu'un truc est le plus petit.

Là on aurait pu s'y prendre un peu plus directement : prendre une tribu M' contenant A et montrer que B ⊂ M'. Ça change pas grand chose.

Ah ok c'est bon j'ai compris, merci à vous