Holà.

J'ai plusieurs questions.

• Pour montrer qu'une partie d'un espace métrique est bornée, on doit montrer que le diamètre est fini. Montrer que la norme (associée) est majorée pour tout élément de l'ensemble, c'est suffisant ?

• Toute suite de Cauchy est bornée. Vous auriez un contre exemple pour la réciproque, si toute suite est bornée dans un EVN, alors toute suite est de Cauchy ?

• Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet. La démo commence par : "par équivalence des normes, on peut se ramener au cas de (R^d, N) où N est la norme infinie". J'ai l'intuition pour comprendre pourquoi, mais comment l'écrire mathématiquement et rigoureusement ?

Merci.

Toute suite de Cauchy est bornée. Vous auriez un contre exemple pour la réciproque, si toute suite est bornée dans un EVN, alors toute suite est de Cauchy ?

U_n = (-1)^n

Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet. La démo commence par : "par équivalence des normes, on peut se ramener au cas de (R^d, N) où N est la norme infinie". J'ai l'intuition pour comprendre pourquoi, mais comment l'écrire mathématiquement et rigoureusement ?

Dans un EVN de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes

Pour montrer qu'une partie d'un espace métrique est bornée, on doit montrer que le diamètre est fini. Montrer que la norme (associée) est majorée pour tout élément de l'ensemble, c'est suffisant ?

Alors un espace métrique c'est pas forcément un evn, donc t'as pas forcément de "norme associée". Dans le cas d'un evn, une partie F est bornée signifie qu'il existe une constante C telle que pour tout x dans F, ||x|| =< C.

Ouais d'accord Hypo mais comment on se ramène au cas (R^d, N) proprement ?
Je veux dire si E est un EVN de dimension d, je considère une suite de Cauchy (xn).
f la bijection de E dans R^d
(f(xn)) converge dans R^d
donc (xn) converge dans E

c'est correct ça ?

Le 11 juin 2018 à 13:32:48 Kwns a écrit :
Ouais d'accord Hypo mais comment on se ramène au cas (R^d, N) proprement ?
Je veux dire si E est un EVN de dimension d, je considère une suite de Cauchy (xn).
f la bijection de E dans R^d
(f(xn)) converge dans R^d
donc (xn) converge dans E

c'est correct ça ?

Ton f est un isomorphisme de E vers R^d
Je note N la norme sur E, tu peux montrer que $N' : x \mapsto N(f^{-1}(x))$ est une norme sur R^d, et si tu considères R^d avec cette norme, f est une isométrie.
Du coup, si t'as une suite de Cauchy x_n sur E, f(x_n) est une suite de Cauchy dans R^d pour la norme N' et ensuite tu dis que N' est équivalente à $N_{\infty}$ et là tu peux conclure assez facilement.

L'équivalence des normes en dimension finie, ça marche pour les R-ev, mais sinon c'est faux pour les Q-ev par exemple.
Donc attention

Ah ouais, merci, nickel.
J'ai une nouvelle question.

Soit (E,d) un espace métrique et O un ouvert de E. Pour x,y € O, on note :

z(x,y) = d(x,y) + | (1/a) - (1/b) |

où a = d(x, E\O) et b = d(y,E\O)

• Mq z est une distance sur O, équivalente à la distance d.
• Si (E,d) est complet, alors O est complet pour z.

Pour le premier point ok. Mais pour le deuxième comment faire ? Je considère (xn) suite de Cauchy sur O. Par complétude, elle converge pour d vers x € E. Mais comment conclure ?

Merci !

J'ai du mal à voir l'équivalence des distances :
Si je prends $E = \mathbb{R}$ et d la distance associée à la valeur absolue.
Je prends comme ouvert $O = ]0;1[$
Il est clair que $d(x,y) \leq z(x,y)$ pour tous $x,y \in O$
Mais si je pose pour tout $n \in \mathbb{n},\ x_n = \frac{1}{2^n}$ et $y_n = \frac{1}{2^{n+1}}$
j'ai alors $d(x_n,y_n) = \frac{1}{2^{n+1}}$ mais $z(x_n,y_n) = \frac{1}{2^{n+1}} + |2^n - 2^{n+1}| = \frac{1}{2^{n+1}} + 2^n$
L'une tend vers 0 et l'autre non, donc à moins que je me goure y a un problème.

Je peux pas avoir le script LaTeX, Mickanos.
Mais si j'ai bien compris, xn = (1/2)^n et yn = (1/2)^(n+1)
Je suis d'accord avec toi pour tes calculs.

Mais j'vois pas pourquoi la divergence donnerait une information sur l'équivalence des distances.
Elles sont équivalentes si elles possèdent les mêmes suites convergentes, calculer d(xn,yn) - ou z(xn,yn) - ça n'apporte pas d'info, si ?

Le 14 juin 2018 à 08:14:32 Kwns a écrit :
Je peux pas avoir le script LaTeX, Mickanos.
Mais si j'ai bien compris, xn = (1/2)^n et yn = (1/2)^(n+1)
Je suis d'accord avec toi pour tes calculs.

Mais j'vois pas pourquoi la divergence donnerait une information sur l'équivalence des distances.
Elles sont équivalentes si elles possèdent les mêmes suites convergentes, calculer d(xn,yn) - ou z(xn,yn) - ça n'apporte pas d'info, si ?

Peut-être qu'on a un problème de définition.
Pour moi pour qu'elles soit équivalentes il faut qu'il existe k_1 et k_2 tels que pour tous x,y, k_1 d(x,y) <= z(x,y) <= k_2 d(x,y).
et là si tu branches x_n et y_n dans la deuxième inégalité tu as un problème.

Mais effectivement, je vois l'embrouille : tout ce que je dis c'est que la suite x_n - y_n converge pour d, mais elle converge vers 0 qui n'est pas dans O donc ça colle bien qu'elle diverge pour z.
Donc ok, c'est un soucis de définition.

Ce que tu dis est vrai mais que pour les normes.
Des distances équivalentes sont caractérisées par ce que j'ai dit plus haut, et par définition, elles sont équivalentes si elles définissent la même topologie.

Y a distances topologiquement équivalentes et lipschitz équivalentes

Kwns parle de distances topologiquement équivalentes et micka de distances lipschitz equivalentes