Salut
j'étais devant naruto (le combat entre Jiraya Tsunade et Orochimaru) et je me suis posé cette question

Soit K un ensemble non vide
Si toute fonction continue sur K est bornée et atteint ses bornes,
peut - on dire que K est un compact?

vous en pensez quoi? (hormis le fait que je pense à ça en regardant naruto)

Soit K = N l'ensemble des entiers naturels. On munit K de la topologie telle que U est un ouvert si U est vide ou si U contient 0.
Pour i >=1, on considère l'ouvert U_i = {0,i}. Alors l'union des U_i est un recouvrement de K par des ouverts, mais on ne peut pas en extraire de recouvrement fini. Donc K n'est pas compact.
Soit f une fonction continue de K dans R. Comme f est continue, f^{-1}(R\{f(0)}) est un ouvert de K. Mais il ne contient pas 0, donc c'est l'ensemble vide. Donc f est constante égale à f(0).

Est-ce que ça répond à ta question ?

Si K = R, déjà l'hypothèse "atteint ses bornes" est superflue (car si toutes les fonctions sur K sont bornées, elles atteignent nécessairement leurs bornes). Donc ça revient à se demander si un sous-espace de R sur lequel toutes les fonctions continues sont bornées est nécessairement compact. La réponse est oui, il n'est pas difficile de montrer qu'on a la compacité séquentielle.

Si K est autre que R, alors on ne peut rien dire de façon général. Les espaces sur lesquels toutes les fonctions continues sont bornées est dit pseudocompact : https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudocompact_space

Le 25 mai 2018 à 18:40:28 Prauron a écrit :
Soit K = N l'ensemble des entiers naturels. On munit K de la topologie telle que U est un ouvert si U est vide ou si U contient 0.
Pour i >=1, on considère l'ouvert U_i = {0,i}. Alors l'union des U_i est un recouvrement de K par des ouverts, mais on ne peut pas en extraire de recouvrement fini. Donc K n'est pas compact.
Soit f une fonction continue de K dans R. Comme f est continue, f^{-1}(R\{f(0)}) est un ouvert de K. Mais il ne contient pas 0, donc c'est l'ensemble vide. Donc f est constante égale à f(0).

Est-ce que ça répond à ta question ?

Jolie

il y a juste un détail qui m'échappe c'est "On munit K de la topologie telle que U est un ouvert si U est vide ou si U contient 0."
C'est-à-dire? on considère N comme étant l'espace topologique?
Cette approche d'étude ne me dit rien (j'ai des connaissances de MP là), la topologie sur N c'est assez exotique pour moi, je pensais encore à une approche proche du programme c'est à dire dire que N n,'est pas bornée donc ne peut être compact (en se plaçant dans l'espace topologique R)

En tout cas merci ça m'a éclairé

Le 25 mai 2018 à 18:45:29 Jooord a écrit :
Si K = R, déjà l'hypothèse "atteint ses bornes" est superflue (car si toutes les fonctions sur K sont bornées, elles atteignent nécessairement leurs bornes). Donc ça revient à se demander si un sous-espace de R sur lequel toutes les fonctions continues sont bornées est nécessairement compact. La réponse est oui, il n'est pas difficile de montrer qu'on a la compacité séquentielle.

Si K est autre que R, alors on ne peut rien dire de façon général. Les espaces sur lesquels toutes les fonctions continues sont bornées est dit pseudocompact : https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudocompact_space

c'est un peu difficile pour moi de comprendre toutes ces notions avec mon niveau de MP, mais merci beaucoup je vais me renseigner sur les dits pseudocompact

Oui ici l'espace topologique c'est N, mais pas muni de la topologie usuelle. On le munit d'une autre topologie qui en fait un espace pseudo compact mais pas compact.