Salut, j'ai une question très conne.

Si j'ai une matrice A tq detA = -1, est ce que je peux conclure directement que les valeurs propres de A sont réelles et de signes opposés ?

Pourquoi les valeurs propres c'est pas i et i par exemple ?

Merci.

PS : en l'occurrence, ici ma matrice c'est
0 1
1 -1

A = [[i,0],[0,i]] : déterminant = -1, valeurs propres = i et -i
A = [[1,0],[0,-1]] : déterminant = -1, valeurs propres = 1 et -1
A = [[a,0],[0,-1/a]] : déterminant = -1, valeurs propres = a et -1/a
donc non le déterminant suffit pas

"Since detA = -1, the eigenvalues of A are real and with opposite signs"

Ma prof raconte donc des bêtises.

C'est pas toujours vrai.

Mais la matrice est à coefficients réels, donc son polynôme caractéristique est à coefficient réels.
Donc si z est valeur propre (racine du polynome caractéristique) alors le conjugué de z aussi.
Donc déjà on voit que, comme le polynôme est de degré 2, i ne peut pas être racine double.

Et si tu avais une valeur propre z dans C\R alors le spectre de A serait {z, z barre}. Et on aurait, comme le déterminant est le produit des valeurs propres (comptées avec multiplicité) :
det(A)=z * zbarre = |z|^2 ce qui est incompatible avec det(A)=-1.

Donc les valeurs propres sont réelles et comme le produit est négatif, elles sont de signe opposé.

Mecaflu : dans ta première matrice, les valeurs propres sont i et i (pas i et -i) car ta matrice est une homothétie

oui bon

Ah ouais merci.

Autre question de débilos, je ne sais pas calculer un vecteur propre.

Par exemple si j'ai la matrice :

1 3
1 -1

Les valeurs propres sont 2 et -2.
Je dois calculer AX = 2X avec X = (x y)
Bah quoi que je fasse je trouve x = y = 0.

C'est pas la première fois que ça m'arrive sur différentes matrices, c'est quoi le souci svp ?

C'est bon pour les valeurs propres

Fais voir tes calculs

Le 17 mai 2018 à 10:00:14 Kwns a écrit :
Ah ouais merci.

Autre question de débilos, je ne sais pas calculer un vecteur propre.

Par exemple si j'ai la matrice :

1 3
1 -1

Les valeurs propres sont 2 et -2.
Je dois calculer AX = 2X avec X = (x y)
Bah quoi que je fasse je trouve x = y = 0.

C'est pas la première fois que ça m'arrive sur différentes matrices, c'est quoi le souci svp ?

Normalement tu trouves x=3y et x=-y donc tes sous espaces propres sont Vect(3,1) et Vect(1,-1)