Bonjour !

Je bloque sur un problème, auriez-vous un petit indice ?

8 lycéens participent à un concours de mathématiques. Le sujet comporte 8 problèmes. On sait que chaque problème a été résolu par exactement 5 lycéens. Montrer qu'il existe deux lycéens, qui, à eux deux, ont résolu les 8 problèmes (les deux n'ont pas forcément résolu les 8 problèmes mais le premier à pu résoudre les problèmes 1,2,7 et le deuxième à résolu les problèmes 3,4,5,6,8)

Merci !

up

Soit A l'élève qui a résolu le plus de problèmes. Combien en a-t-il résolu au moins ?

Maintenant regarde les problèmes qui n'ont pas été résolus par A

Merci beaucoup !

je mets quand même une solution parce que c'est joli je trouve. Si quelqu'un a plus simple je suis preneur

Donc chaque problème est résolu par exactement 5 élèves. On montre que le nombre moyen de problèmes résolus par élève est de 5. On note n_i le nombre de problèmes que l'élève i a résolus.

Chaque problème compte pour 1 dans 5 n_i différents donc la somme des n_i est égale à 8x5 = 40 donc un élève a résolu en moyenne 5 problèmes.

On prend l'élève A qui en a résolu le plus. Il en résout au moins 5 sinon la moyenne ne peut être 5. Il reste donc trois problèmes non résolus au plus.

S'il en reste 0, c'est bon.
S'il en reste 1, ce problème est résolu par 5 autres élèves.
S'il en reste 2, il y a au moins 2 élèves qui les ont résolus (10 places à choisir parmi 8 il y en a au moins 2 prises 2 fois).
S'il en reste 3, on note n_1, n_2, .... n_7 les nombres de problèmes résolus par les 7 autres élèves autre que A. Chacun des trois problèmes résolus compte pour 1 dans 5 n_i donc n_1+...+n_7=3x5=15. Donc la moyenne de problèmes résolus par les élèves restants est 15/7 > 2. On prend l'élève B parmi les 7 qui a résolu le plus de problèmes parmi les 3 problèmes restant. Il les a tous résolus sinon la moyenne ne peut être > 2.

Dans tous les cas, il existe un élève B qui a résolu tous les problèmes restant au moins. A et B répondent à la question.