Salut.

Soit H : E -> F linéaire continue où E dense dans F et F est un Banach. E et F sont munis de la même norme N. Alors H se prolonge de manière unique en une application linéaire continue sur F.

Comment je démontre ce théorème ?
Déjà quel est le prolongement que l'on va obtenir ?

 
Je pensais à quelque chose comme, en notant H1 le prolongement :
H1(x) = lim H(xn) où (xn) est une suite d'éléments de E qui converge vers F.

 
Je considère toujours (xn) comme précédemment, alors (xn) est de Cauchy.
Donc N[H(xn) - H(xm)] < C*N(xn-xm) tend vers 0 quand n, m tendent vers l'infini.

Donc (H(xn)) est de Cauchy donc converge car F complet.

A partir de là, pour pouvoir écrire H1(x) = lim H(xn) où (xn) est une suite qui converge vers x, je dois montrer que si (un) et (vn) convergent vers x alors lim H(un) = lim H(vn)

D'une manière similaire, c'est bon.
Je note donc H1(x) = lim H(xn)

Mais comment j'obtiens la continuité de H1 ? Et l'unicité ?

Pour l'unicité : de manière générale si deux fonctions f et g continues de X dans Y métriques sont égales sur une partie dense E de X, alors elles sont égales sur X :
Tu prends une suite (xn) de E qui approche x quelconque, alors f(xn)=g(xn) et en passant à la limite (continuité de f et g) tu obtiens f(x)=g(x)

Ok merci.

Pour la continuité, ça vient de la linéarité.
Je peux montrer que H1 est linéaire, et que donc si (xn) éléments de F - et non plus de E - tend vers x € F, alors N[H1(xn) - H1(x)] < C*N(xn - x) tend vers 0 donc H1 est continue.

La question que je me pose est : est ce que ce que j'ai écrit dans mon premier message démontrer la linéarité de H1 ou je dois le re démontrer ? Merci.

La linéarité tu devrais quand même l'écrire je pense, c'est pas très long il suffit d'écrire que H1 (x+ky)=lim H (xn+kyn)=... avec la linéarité de H et de la limite
Mais ça suffit pas pour montrer la continuité puisqu'a priori F n'est pas de dimension finie (ça m'etonnerait que ce soit une hypothese parce que dans ce cas E dense implique E=F sauf erreur de ma part)

J'avais pas lu ton deuxieme message en entier ignore la deuxieme partie