On est d’accord que cette fonction est de degré 2 ? Ou j’ai faux parce que à la fin on se retrouve avec 2x la fonction initiale

Et aussi j’arrive pas à continuer pour trouver le degré de cette fonction , comment on fait ?

pour la première fonction, tu t'es trompé sur la 2e dérivée $\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{x^2}{y^2}$
On trouve $x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y}= x \frac{2x}{y} - y \frac{x^2}{y^2} = \frac{x^2}{y} = f(x,y)$ donc c'est de degré 1

Il te manque un signe - dans la deuxième dérivée partielle.

Pour l'autre fonction, tu t'es trompé dans la première dérivée partielle.
La fonction est homogène de degré 0. Tu peux le voir en calculant f(kx,ky).

pour la 2e :
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}}$ et $\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}}$
donc : $x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = x \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} - y \frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}}= 0$

J’ai compris pour la 1ère fonction mais pas pour la deuxième pk la 1ère derive partiel est faux ?

Parce que quand tu dérives exp(x/y) par rapport à x, tu dérives la fonction x -> exp(x/y) en considérant y comme une constante.
Et ça donne (1/y)*exp(x/y) car la dérivée de exp(u) c'est u' exp(u).