Ces messieurs-dames bonjour

Voilà le bon vieux sujet de calcul diff :

J'ai réussi la question 1 (a) où j'ai trouvé que C est l'union du cercle de centre (0,0) et de rayon 1, avec la droite d'équation x = y.
Pour la première question, avec (a,b) = (0,1), j'applique le théorème des fonctions implicites car la différentielle est tout le temps inversible (d_y(g) = dy).

J'en déduit :

Il existe V un voisinage de 0, il existe W un voisinage de (0,1), il existe phi : V -> lR telle que
(x^2 + y^2 - 1)(x-y) = g(x,y) = 0 (x,y) €W
<=>
y = phi(x) x €V

En prenant (x,y) au voisinage de (0,1), je déduis que
phi(x) = sqrt(1- x^2)

Mais je ne comprends pas la question "Montrer que C est donné au voisinage de (0,1) par le graphe d'une fonction au-dessus de x"
Mais pourquoi je peux pas faire le contraire alors ? x = phi(1-y^2) ?

J'ai envoyé un email à mon prof il m'a répondu :

"Bonjour,

C'est bien.

Vous auriez pu essayer d'appliquer le théorème des fonctions implicites pour exprimer x en fonction de y au lieu de y en fonction de x comme vous le faites. Au point (0,1), ça ne marche pas, puisque la dérivée partielle de g par rapport à x s'annule; mais en (1,1), par exemple, ça aurait été possible. Vous auriez alors obtenu une description de C au voisinage de (1,1) comme le graphe d'une fonction dépendant de y (x=phi(y)) : c'est ce que j'appelle graphe d'une fonction "au dessus de" y.

Cordialement,"

Sauf que j'ai pas bité sa réponse
Quelqu'un pourrait m'éclairer sur la question 1 (b) ? Une fois que j'ai compris, normalement tout le reste du DM devrait aller vu que c'est les mêmes questions

Merci

Salut,

c'est assez clair en regardant le graphe de ta fonction :

Il faut donc effectivement dans chaque cas appliquer le théorème des fonctions implicites à la bonne variable. Par contre je ne comprends pas pourquoi ton prof parle de (1,1), peut être juste à titre d'exemple distincts de ceux demandés.

Ah merci c'est super clair là

Et pour la question 1(e) où le point correspond à l'intersection de la droite et du cercle, on ne peut l'exprimer comme graphe de fonction ni au dessus de x ni au dessus de y.

Merci beaucoup, vraiment sympa

En fait j'ai réfléchi de nouveau à la question 1(e), je ne vois pas pourquoi c'est impossible, dans les deux cas on a toutes les conditions nécessaires pour le théorème des fonctions implicites non ?
en ce point, les dérivées partielles ne s'annulent pas il me semble

what
j'avais essayé de retrouver ce topic et il vient d'apparaître à nouveau wtf

oui y a un admin qui l'a delete j'ai pas compris
Et là je le cherchais je devais fou, j'ai vu dans les logs

pour en revenir au point d'intersection, je vois visuellement que le soucis est qu'il va y avoir plusieurs images qu'importe comment je "tourne ma tête" ?

Mais je vois pas en fait ce qui m'empêche d'appliquer le théorème d'inversion locale comme toute à l'heure, les conditions sont bien remplies quoi, g(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2) = 0, et les deux dérivées partielles sont bien inversibles... Mais je vois bien que ça marche pas quoi
Qu'est-ce qui merde ici ?

Je viens de voir que la différentielle de g au point (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2) était toujours nulle ceci dit, c'est là où ça joue ?

Bon je up par contre, je ne comprends strictement plus rien à la question 3(a)
Je ne comprends pas s'il faut appliquer le théorème de la fonction implicite à f ou à g...

J'ai fait ça je suis pas très convaincu