Salut !
J'ai bien compris comment montrer qu'un ensemble est ouvert/fermé (ou non), mais il y a un truc que je ne saisis pas. Pour montrer par exemple qu'un ensemble n'est pas ouvert, il faut déjà voir que celui-ci n'est pas ouvert, et ensuite le montrer.
Par exemple, on prend cet ensemble : A = { (x,y) ∈ IR² , x>0 , y=0 } dans (IR² , ||.|| inf)
Il ressemble à ça : http://sketchtoy.com/68600368

Dans la correction, on commence par dire : A n'est pas ouvert, puis on explique pourquoi.
Je comprends la justification, mais comment on voit d'entrée de jeu qu'il n'est pas ouvert ?
Pour moi il est ouvert car l'intervalle considéré est ]0,+INF[

De même si j'ai l'intervalle B = { (x,y) ∈ IR² , x>0 , y>0 } dans (IR² , ||.|| inf), ça me donne ça :
http://sketchtoy.com/68600373

Mais du coup pourquoi celui-là est ouvert ?

J'arrive à comprendre avec la justification, mais je ne comprends pas comment on le voit

Merci pour votre aide

Un ouvert, c'est un ensemble qui contient une petite boule autour de chaque point qu'il contient.
Ton premier ensemble, c'est une demi-droite dans R², on se doute bien qu'il va pas contenir un petit disque autour de chacun de ses points.
Le B, c'est un quart de plan sans les bords, si tu prends n'importe quel point tel que x>0 et y>0, t'as un disque autour qui vérifie la même condition.

Après, il faut rédiger tout ça, mais en gros c'est ça l'intuition que tu peux avoir.

Le 12 avril 2018 à 17:47:18 Mickanos a écrit :
Un ouvert, c'est un ensemble qui contient une petite boule autour de chaque point qu'il contient.
Ton premier ensemble, c'est une demi-droite dans R², on se doute bien qu'il va pas contenir un petit disque autour de chacun de ses points.
Le B, c'est un quart de plan sans les bords, si tu prends n'importe quel point tel que x>0 et y>0, t'as un disque autour qui vérifie la même condition.

Après, il faut rédiger tout ça, mais en gros c'est ça l'intuition que tu peux avoir.

En fait, ma demi-droite dans IR² ne peut pas contenir de boule autour de ses points car elle ne prend qu'une valeur de y (qui est 0), donc impossible de faire une boule ?

Prends un point quelconque de la demi-droite. Si tu essayes de faire un disque autour (une boule 2d), peu importe son rayon il y aura toujours des points au dessus et en dessous de la demi-droite qui vont s'incruster. http://sketchtoy.com/68600456
Mathématiquement si tu fais un disque autour de (a,0) avec a>0 de rayon r>0, (a,r/2) est dans le disque mais n'appartient pas à la demi-droite.
Dans le plan sans bords par contre tu pourras toujours resserrer assez le disque pour qu'il soit totalement contenu dans le plan.

Le 12 avril 2018 à 19:32:03 mitreod a écrit :
Prends un point quelconque de la demi-droite. Si tu essayes de faire un disque autour (une boule 2d), peu importe son rayon il y aura toujours des points au dessus et en dessous de la demi-droite qui vont s'incruster. http://sketchtoy.com/68600456
Mathématiquement si tu fais un disque autour de (a,0) avec a>0 de rayon r>0, (a,r/2) est dans le disque mais n'appartient pas à la demi-droite.
Dans le plan sans bords par contre tu pourras toujours resserrer assez le disque pour qu'il soit totalement contenu dans le plan.

C'est compris, c'est ce que j'avais voulu dire avant mais je l'avais très mal expliqué. Merci à vous