Salut, j'aurais une question au sujet des espaces préhilbertiens.
Prenons E_n = IR_n, le sous espace vectoriel des polynômes de degré au plus n.

Pour montrer que X*P_n ∈ à E_(n+1) inter (E_(n+2))^⊥ (^⊥ = orthogonal),

on remarque déjà que X*P_n ∈ E_(n+1). Mais pourquoi comme (P_0 , ... , P_(n-1)) est une base de E_(n-1) pour n >=1, alors P_n est orthogonal à E_(n-1) ?

Merci

Ça sent Gramm-Schmidt non?

C'est quoi les Pk ?

J'arrive pas à joindre de photos mais on définit sur ExE l'application <P|Q> = -1∫1 P(t)*Q(t) dt.
Avec Gram Schimdt on orthonormalise la base {1,X,X²,X^3} de E_3 et on obtient des polynômes P_0 , P_1 et P_2.

Bah dejà c'est quoi ton produit scalaire ? ( mais vu tes questions ça doit être un PS à poids )

Le 27 février 2018 à 21:37:58 the_ff3_fan a écrit :
Bah dejà c'est quoi ton produit scalaire ? ( mais vu tes questions ça doit être un PS à poids )

Mon produit scalaire c'est : <P|Q> = -1∫1 P(t)*Q(t) dt (-1∫1 = intégrale de -1 à 1)

Le 27 février 2018 à 20:29:46 Wasabeach a écrit :
Mais pourquoi comme (P_0 , ... , P_(n-1)) est une base de E_(n-1) pour n >=1, alors P_n est orthogonal à E_(n-1) ?

Vu que les (Pk) sont obtenus avec Gram-Schmidt, P_n est orthogonal à chaque vecteur de (P_0,...P_(n-1)) qui est une base de E_(n-1), donc P_n est dans l'orthogonal de E_(n-1) (car chaque vecteur de E_(n-1) s'écrit comme combinaison linéaire des (P_0 , ... , P_(n-1)) et le produit scalaire est bilinéaire donc le produit scalaire de P_n par chaque vecteur de E_(n-1) est nul)

Par contre je comprends pas le lien avec la question originelle, qui a l'air fausse vu que E_(n+1) est inclu dans E_(n+2)...