Salut, petit exo
Soient X0....Xn des VA iid à densité de support [a,b]
Soit f une fonction de classe C(n+1) sur [a,b].
On note Y le vecteur de coordonnées ( f(Xi) ) et V la matrice de vandermonde associée à X0......Xn.

1) Montrer que V est inversible ps. On note W son inverse
2) Montrer que la norme du vecteur WY est intégrable

Le déterminant de Vandermonde est non nul ssi les Xi sont 2 à 2 distincts. Ce qui est presque sûr puisque les Xi sont à densités (et la diagonale dans R² est de mesure de Lebesgue nulle.

Le vecteur WY c'est les coefficients du polynôme d'interpolation de Lagrange associé aux points (Xi, f(Xi)).

Oui c'est ca, ils sont aléatoires

Alors pourquoi c'est intégrable... euh j'imagine que ça a un rapport avec le fait que la densité est à support compact et que f est suffisamment régulière. Les coefficients du polynômes vont être bornés.

Ça manque de démonstration tout ca

Je sais

T'es prof, Livia ?

T'es sûr qu'on peut pas se contenter de f continue ?

Non seulement étudiant .
Bah si t'y arrives avec f continue c'est encore mieux, je vois pas comment faire

Chaque coefficient du polynôme est une fonction continue des Xi, si on suppose f continue. Et comme les Xi sont bornés, les coefficients aussi.

Pourquoi les coeff du polynôme sont bornées ? Ce sont des fonctions continues des Xi mais les Xi sont distincts entre eux dans à,b

La fonction qui à (X0,...,Xn) associe (a0,...,an) (les coeff du polynôme) est continue sur le compact [a,b]^(n+1), donc bornée.

Mais la fonction est pas définie sur le compact tel que chaque coordonnée est distincte ?

Oui t'as raison, du coup c'est plus un compact...
Donc ouais, doit y avoir besoin de borner les dérivées (au moins une).

Bon
Vu que les Xi sont bornées et que f est de classe Cn+1 , on peut très facilement bornée l'erreur d'interpolation par une constante déterministe .
On peut donc bornée la norme infinie de P sur le segment. Par équivalence des normes, on a l'integrabilite des coordonnées .

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Interpolation_polynomiale

Pour la borne de l'erreur