Bonjour,
je comprends pas pourquoi si X suit une loi normale N(u,o²)
alors /X suit une loi normale N(u,o/sqrt(N))
où N est la taille de l'echantillon

/X ?

X barre

c,'est la meme variable que X mais pour un echantillon de taille N

En gros t'as un échantillon de N variables aléatoires Xi qui suivent une loi normale N(u,o^2), et tu cherches la loi de la moyenne empirique (1/N)*somme des Xi ?

E(aX +Y) = aE(X)+E(Y)
Var(aX) = a^2 Var(X)
Si X et Y sont indépendantes, alors Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)

Oui je crois que c'est ca mais j'arrive pas a comprendre pourquoi elle suit la loi N(u, o/sqrt(N)) où o est l'ecart type

Pourquoi si X suit la loi N(u1,o²1) et Y suit la loi N(u2,o²2)
alors X - Y suit la loi N(u1-u2, o²1+o²2)?

Là comme ça je dirais que t'as plusieurs moyens de le montrer ; en utilisant que la densité de la somme de deux va indépendantes à densités est une va qui admet pour densité le produit de convolution des deux densités (attention gros calcul) ou bien encore par les fonctions caractéristiques (ça tombe presque tout seul là mais y a plus de théorie derrière).

Sinon y a peut être moyen de faire aussi par le théorème de transfert mais je pense pas que ce soit une bonne idée.

Si tu supposes connu que la somme de lois normales indépendantes est une loi normale, alors ça découle directement des propriétés des opérateurs espérance et variance et c'est juste un petit calcul à faire.