Bonsoir à tous,

J'ai un gros bug. Est-ce que quelqu'un pourrait me démontrer (m'expliquer) proprement pourquoi la mesure d'un angle ne dépend pas de la longueur des côtes ?

Merci bien

Bonsoir,

il faut revenir à la définition d'un angle, mais ça ne réduit pas vraiment le problème : comment définis-tu proprement un angle?

Merci pour ta réponse.

Je ne veux pas parler d'angles orientés, mais rester sur de la géométrie élémentaire.

Je définis un angle comme une partie du plan délimitée par deux demi-droites de même origine.

Je considère un cercle de rayon quelconque mais de centre cette origine. La mesure de cet angle est définie comme la proportion de l'aire de la portion du disque sur l'aire totale du disque.

La question revient à se demander pourquoi la proportion est toujours la même, quelque soit le rayon du disque.

Je ne sais pas si je me fais comprendre !

Dans ce cas c'est un secteur angulaire pas un angle non ?

Le 08 janvier 2018 à 20:40:21 Briankitchen a écrit :
Dans ce cas c'est un secteur angulaire pas un angle non ?

Oui je pense ! J'ai utilisé "angle" par abus de langage, je crois.

La notion d'angle est de toute manière assez mal définie de façon élémentaire, et on confond souvent le vocabulaire "angle", "secteur angulaire" et "mesure de l'angle".

Avec ta définition, on a le risque de tourner en rond (parce que pour calculer l'aire d'une portion de disque, généralement on utilise la valeur de l'angle qui délimite les deux). On peut certainement contourner le problème en passant par les transformations, en l'occurrence si tu changes le rayon, cela crée un cercle homothétique. Le secteur angulaire est un agrandissement du précédent, dans le même rapport que l'agrandissement des surfaces des deux cercles.

Le 08 janvier 2018 à 20:50:52 Jooord a écrit :
La notion d'angle est de toute manière assez mal définie de façon élémentaire, et on confond souvent le vocabulaire "angle", "secteur angulaire" et "mesure de l'angle".

Avec ta définition, on a le risque de tourner en rond (parce que pour calculer l'aire d'une portion de disque, généralement on utilise la valeur de l'angle qui délimite les deux). On peut certainement contourner le problème en passant par les transformations, en l'occurrence si tu changes le rayon, cela crée un cercle homothétique. Le secteur angulaire est un agrandissement du précédent, dans le même rapport que l'agrandissement des surfaces des deux cercles.

Merci encore pour ta réponse, c'est à peu près ce que je me disais. En cherchant des explications dans ce contexte, je tourne en rond (comme tu le dis : pour calculer l'aire d'une portion de disque, généralement on utilise la valeur de l'angle qui délimite les deux - mais tu dis généralement, as-tu une autre façon de faire en tête ?).

Je suis tombé sur cet extrait qui semble tenter une démonstration (je ne comprends pas en quoi cela fonctionne).

Le passage intéressant : "Mais, quelque grandeur absolue qu'ait cet arc, jamais la grandeur relative ne changera ; et bc dans son cercle est aussi grand que de dans le sien. Effectivement, les deux lignes ab, ac s'ouvrant, lorsque l'angle sera droit, il comprendra un quart du grand cercle, comme du petit : et le point c, faisant le tour de son cercle, le point e, fera aussi en même temps le tour du sien, et c.".

Qui est l'auteur de ton texte?

Tu peux aussi regarder comment Euclide démontrait ça :
https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/bookI.html#props
(c'est la proposition 8)

Le problème avec Euclide comme avec ton texte, c'est qu'on est vraiment dans de la proto-géométrie, une géométrie où une grande partie des démonstrations contiennent du vocabulaire non défini, des propriétés implicites non justifiées et, pire, des pétitions de principe complexes à déceler.

Tu vas me dire que c'est pas très grave puisque après tout cette proto-géométrie euclidienne c'est celle qu'on enseigne, mais c'est un peu comme enseigner la mécanique de Newton, ça fonctionne plutôt pas mal localement, mais dès qu'on veut faire des choses un peu plus pointues on a besoin d'un cadre plus fin. En l'occurrence, dès qu'on veut utiliser la géométrie euclidienne pour démontrer des choses à un niveau élémentaire, c'est-à-dire proche de l'axiomatique, là le système d'Euclide n'est pas assez clair et précis.

Or, le concept d'angle est un concept élémentaire, et si on veut vraiment tâcher de démontrer des propriétés essentielles non axiomatiques, alors on a pas le choix que de recourir à des géométries qui définissent proprement et de façon suffisamment consistante la notion d'angle pour y arriver. Au choix : Géométrie vectorielle (c'est je pense le cadre le plus "simple", mais tu l'as exclu me semble-t-il dans un précédent poste), géométrie cartésienne, géométrie des transformations (ce que j'ai proposé avec mes histoires d'homothétie), géométrie projective, ...

Juste pour revenir sur Euclide, en fait ce n'est pas la proposition 8 qui règle ton soucis. En réalité ta propriété est implicitement contenue dans la définition d'un angle donné par Euclide (définition 8), mais on remarque que dans celle-ci le terme "inclination" n'est pas pré-défini, de fait comme je le disais on ne peut pas vraiment poser ta question dans le cadre de la géométrie euclidienne, car celle-ci l'élude.