J'ai interrogations sur des problèmes que j'ai rencontré mais ou je sais pas trop comment partir Donc un peu d'aide serait la bienvenue

Comment montrer que si 2^k - 1 est premier, alors k est premier ?

Y a t'il une méthode pour déterminer le plus petit entier n > N tel que pgcd(n,N) = x ?
En l’occurrence je devais trouver le plus petit entier n > 2016 tq pgcd(n, 2016) = 21. Il se trouve que 21 divise 2016 donc en l’occurrence n = 21 mais si c'était pas le cas j'aurais fait comment ?

Je dois programmer une fonction python qui donne la somme des diviseurs d'un nombre, en utilisant une fonction qui renvoie la plus grande valeur de p telle que la somme pour i allant de 0 à p des 2i+1 soit inférieure à n Je comprend pas l'utilité de cette fonction...
J'ai "juste" à tester tous les nombres <= à n et à l'ajouter à la somme si je trouve un nombre qui divise n non ?

Une idée de comment partir pour vérifier que l'ensemble des classes d'équivalences pour la relation de congruence modulo n est fini et de cardinal n?

Si f est croissante majorée, f+g croissante, g périodique alors montrer que g est constante. Si y'a pas l'hypothèse de continuité je suis bloqué non?
Si on prend f = idR et g = sin, pourquoi n'y a t'il pas de contradiction ?

Par l'absurde si k n'est pas premier tu peux l'écrire k = pq alors 2^k-1=2^(pq)-1=(2^p)^q-1 tu utilises une formule bien connue pour factoriser et montrer que le truc obtenu est pas premier.

Flemme de lire le reste

Si f est croissante majorée, f+g croissante, g périodique alors montrer que g est constante. Si y'a pas l'hypothèse de continuité je suis bloqué non?
Si on prend f = idR et g = sin, pourquoi n'y a t'il pas de contradiction ?

La fonction que t'as elle est pas périodique

edit: J'ai mal lu en fait. Ta fonction f elle est pas majorée en fait

Comment montrer que si 2^k - 1 est premier, alors k est premier ?

Si k=pq, 2^(pq) - 1 = 2^(pq) - 1^(pq) = (2^p-1)(...)

Y a t'il une méthode pour déterminer le plus petit entier n > N tel que pgcd(n,N) = x ?

n n'existe pas forcément (si x ne divise pas N par exemple).

Une idée de comment partir pour vérifier que l'ensemble des classes d'équivalences pour la relation de congruence modulo n est fini et de cardinal n?

deux entiers sont en relation ssi ils ont même reste dans la division euclidienne. Il y a n restes.

Si on prend f = idR et g = sin, pourquoi n'y a t'il pas de contradiction ?

f n'est pas majorée

Tu veux montrer quoi avec ton contre-exemple je comprends pas?

Non rien j'avais mal lu en fait

L'histoire de la fonction périodique n'est pas évidente...

Si f+g non majorée, f+g tend en croissant vers l'infini. Comme f est majorée, g prend des valeurs arbitrairement grandes (et aussi loin sur l'axe des abscisses que voulu vu la périodicité). g est bornée inférieurement, sinon, comme f est bornée sur tout intervalle de la forme [A, ∞[, f+g ne tendrait pas vers l'infini. On peut trouver un x aussi grand que voulu où g(x) est très grand, donc f(x)+g(x) est très grand. On peut trouver un y>x où g(y) est proche de son inf, donc f(y)+g(y) < f(x)+g(x), une contradiction avec la croissance de f+g.

Si f+g majorée, comme f est majorée, g est majorée. g est minorée pour la même raison que précédemment. Si par l'absurde g n'est pas constante, alors elle admet un inf et un sup avec inf < sup. Alors on peut trouver x<y avec g(x) très proche du sup et g(y) très proche de l'inf. On a alors f(y)+g(y) < f(x)+g(x) une contradiction

Mais faut montrer que g est constante et tu en parles jamais là non ?

Je montre que f+g est nécessairement majorée, puis que g est constante.

Sinon plus rapide, suppose que g n'est pas constante et a une période T
Il existe x>y tel que g(x)>g(y)
On pose u_n = f(x+nT) c'est une suite croissante majoré donc converge vers l
v_n = f(y+nT) de même converger vers l'

Par croissance de f+g et x+nT>y+nT + périodicité

On a u_n+g(x)≥ v_n+g(y)
Donc u_n-v_n ≥ g(x)-g(y)>0

Donc l-l'>0, absurde (car l=l')

C'est peut-être faux, vu que sp1f prend un virage alors que moi je vais tout droit, et peut-être droit dans le mur mais comme excuse on va dire qu'il est 1h du matin

Pourquoi si f+g majorée et f majorée alors g est minorée ? C'est faux

Le 06 janvier 2018 à 02:02:37 Polyphemee a écrit :
Pourquoi si f+g majorée et f majorée alors g est minorée ? C'est faux

g est périodique et f est croissante

Au pire ma démo semble bonne

Le 06 janvier 2018 à 11:57:17 Vaxium a écrit :
Au pire ma démo semble bonne

oui ça fonctionne

L'idée de la preuve est juste qu'une fonction périodique non nulle est "incompressible" à l'infini.
C'est le même truc qui se cache derrière le fait qu'une fonction périodique possédant une limite à l'infinie est constante. (On peut d'ailleurs s'y ramener en modifiant la preuve de spf, une fois qu'on a montré que f+g est nécessairement majorée, f est convergente, f+g est convergente donc g est convergente, ainsi g est constante par périodicité)

Le 06 janvier 2018 à 10:38:55 spf1 a écrit :

Le 06 janvier 2018 à 02:02:37 Polyphemee a écrit :
Pourquoi si f+g majorée et f majorée alors g est minorée ? C'est faux

g est périodique et f est croissante

Je vois pas en quoi ça le justifie