Hey. Je pige rien du tout.

Soit X1,...,Xn un échantillon iid de densité f(.|téta). Une statistique A est dite libre si sa distribution ne dépend pas de téta.

Mais pour la loi uniforme sur [0,téta] je vois pas en quoi la distribution de (X1,...,Xn)/X(n) dépend pas de téta.
X(n) c'est max des Xi.

Merci.

La loi du n-uplet est caractérisée par sa fonction de répartition jointe F(t_1,...,t_n) = P(X_1/X_(n)≤ t_1,...,X_n/X_(n)≤ t_n)

Or la loi de chaque X_i/X_(n) est indépendante de theta (calculer la fonction de répartition pour le voir)

Sinon, X_i/theta suit U(0,1) et la loi de X_(n)/theta est indépendante de theta (cf fonction de répartition)

Donc la loi qu'on obtient en couplant et en divisant est indépendante de theta

Donc j'ai

F(t_1,...,t_n) = P(X_1/X_(n)≤ t_1,...,X_n/X_(n)≤ t_n) = produit des P(X_i/X_(n)≤t_i)

Or

P(X_i/X_(n)≤t_i) = P(X_i/X_1≤t_i, ..., X_i/X_n≤t_i) = produit des P(X_i/X_k≤t_i) donc en particulier avec k = i donc c'est égal à [P(1≤xi)]^n ou j'ai dit n'importe quoi ?

Les évènements n'ont pas de raison d'être indépendants

Pourtant les Xi sont indépendants non ? Je sens que j'ai dit une grosse connerie.
Je fais comment pour calculer la fonction de répartition du coup ? Je suis perdu.

Chaque événement ne dépend pas de theta, donc l'intersection non plus, donc la probabilité non plus, donc la fonction de répartition non plus, donc la loi non plus