Salut

Je me pose quelques questions à propos de mon cours d’algèbre

Si on me demande de vérifier que K,V,+ est un espace vectoriel est ce que je peux le faire en disant que K,V+ est un sous espace de vectoriel car V est un sous ensemble de V ?
Cela permet de gagner du temps si c’est possible

De plus est ce que je peux dire que si un espace vectoriel et un sous espace vectoriel de celui ci sont de même dimension n, alors le sous espace vectoriel est l’espace vectoriel lui même ?

Merci beaucoup

Si on me demande de vérifier que K,V,+ est un espace vectoriel est ce que je peux le faire en disant que K,V+ est un sous espace de vectoriel car V est un sous ensemble de V ?

J'ai rien compris. Si c'est ta question, un sous-ensemble d'un EV n'est bien sûr pas nécessairement un EV.

De plus est ce que je peux dire que si un espace vectoriel et un sous espace vectoriel de celui ci sont de même dimension n, alors le sous espace vectoriel est l’espace vectoriel lui même ?

Oui

En fait je me demandais ceci :

Si on me demande de vérifier que K,V+ est un espace vectoriel, est ce que je peux vérifier que K,V,+ est un sous espace vectoriel étant donné qu’il n’y a que 4 choses à vérifier pour un sous espace vectoriel, alors que pour un espace vectoriel y a 10 propriétés.

Et comme on sait qu’un sous espace vectoriel est un espace vectoriel, la propriété sera vérifiée

Sinon en règle général est ce vrai qu’un sous vectoriel a toujours une dimension inférieure à un espace vectoriel ?

Si on me demande de vérifier que K,V+ est un espace vectoriel, est ce que je peux vérifier que K,V,+ est un sous espace vectoriel étant donné qu’il n’y a que 4 choses à vérifier pour un sous espace vectoriel, alors que pour un espace vectoriel y a 10 propriétés.

Non.
Généralement lorsque l'on veut montrer qu'un petit ensemble (muni d'une loi) est un espace vectoriel, on montre qu'il s'agit d'un sous espace vectoriel d'un ensemble plus gros dans lequel il est contenu. Il suffit pour cela de montrer que ce sous ensemble est non vide et stable par combinaison linéaire.
Exemple : sachant que C vu comme R-espace vectoriel est effectivement un espace vectoriel pour la loi +, il est simple de montrer que l'ensemble des éléments de C ayant une partie imaginaire nulle est un sous espace vectoriel de C.

Mais pour cela, il faut s'assurer que le gros ensemble est lui même un espace vectoriel, sur le même corps K et pour la même loi.

Si tu veux montrer que C est un R-espace vectoriel en ne t'appuyant que sur le fait qu'il est non vide et stable par combinaison linéaire, ça n'est pas un argument suffisant (même si c'est vrai). Soit tu montres qu'il est sous espace vectoriel d'un espace vectoriel plus gros dont tu es sûr qu'il l'est, soit tu retournes à la définition (il y a bien entendu d'autres façons que tu verras en cours, style montrer que c'est le noyau ou l'image d'une application linéaire bien choisie...)

La plupart du temps dans les cours de maths une des premières choses qui apparaissent dans le chapitre espaces vectoriels est une petite liste de "gros" espaces vectoriels models, style (R,+), l'espace des matrices réels muni de +, les fonctions de R dans R muni de + etc... il faut connaître cette liste et l'utiliser lorsque tu veux montrer que des sous ensembles de ces espaces sont des sous espaces vectoriels

Super merci