Salut, petit exo de proba

Pour la 1 j'utilise l'équivalence de N avec la norme 1.

Pour la 2 j'utilise l'équivalence de N avec la norme infini.

L'égalité peut se réécrire F_N(t) = P[ |X1| <= t/N(c(t)) ]^n, et ceci est égal à P[ ||X||_inf <= t/N(c(t)) ].
Par équivalence des normes, il existe des réels positifs a et b tels que a*||.||_inf <= N <= b*||.||_inf.
Donc F_N(t) = P[ N(X) <= t ] appartient à l'intervalle [ P[ ||X||_inf <= t/b ; P[ ||X||_inf <= t/a ], soit
[(P[ |X_1| <= t/b)^n ; (P[ |X_1| <= t/a)^n ]. En notant f_t la fonction décroissante définie par f_t(x) = P[ |X_1| <= t/x ]^n, alors
f_t(b) <= F_N(t) <= f_t(a). Si F est continue, alors f_t aussi et par le TVI, il existe x(t) dans [a,b] tel que F_N(t) = f_t(x(t)).
Et après on prend c(t) un vecteur tel que N(c(t)) = x(t) (suffit de multiplier un vecteur de la N-sphère unité par x(t)).

Bon c'est pas très explicite, et j'ai été obligé de supposer la continuité.

C'est bien ca et oui fallait supposer la continuité de F, j'ai oublié de le préciser