Je me rends compte que je suis vraiment nul en factorisation, par exemple j'ai le polynôme suivant à factoriser pour trouver les valeurs propres et les multiplicités algébriques : (2-x)(2-3x+x²) et je dois trouver une fois factorisé (1-x)(x-2)², seulement je n'ai aucune idée de comment faire. (un gros problème qui remonte sans doute au lycée et que je n'ai jamais réussi à combler) Avez vous une méthode infaillible de factorisation ?

Merci !

il faut que tu regardes les racines évidentes de ton polynome du second degré

Là c'est simple, la racine du polynôme du second degré c'est 1 mais dans d'autres exemples c'est plus compliqué

Bah sinon pour factoriser n'importe quelle polynôme de degré 2 tu as le discriminant

Effectivement dans ce cas là ça marche, j'ai pas pris le meilleur exemple haha

Je reviens avec un autre exemple, comment passer simplement de −X^3 + 2X^2 + X − 2 à −(X − 1)(X − 2)(X + 1) ?

Toujours pareil, racines évidentes, t'essayes tout entre -2 et 2

Il y a au moins une racine évidente y à trouver pour un polynôme de degré 3, puis factoriser le tout sous la forme (x-y)(ax^2+bx+c) avec a b c des coefficients inconnus.

Ensuite tu procédés par identification pour trouver a b et c et tu peux factoriser ton polynôme de degré 2 s'il est factorisable dans les réels (racine évidente ou discriminant positif ) pour obtenir trois polynômes de degré 2.

Le 10 décembre 2017 à 17:27:11 mecavol a écrit :
Je reviens avec un autre exemple, comment passer simplement de −X^3 + 2X^2 + X − 2 à −(X − 1)(X − 2)(X + 1) ?

tu trouves ta racine évidente, appelons la a. Tu fais la division euclidienne de ton polynome par (x-a). Ton polynome devient donc (x-a)*(q), q étant le quotient et c'est un polynôme du second degré je crois. à partir de là tu calcules le discriminent et je suppose que tu connais la suite

Petite astuce lorsque tu veux trouver une racine évidente : si le polynome est de la forme X^n + a1.X^(n-1) + ... + an, avec les (ai)i entiers, cherche parmi les diviseurs de an.

Par exemple, si an = 15, essaie successivement -15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15.

D'ailleurs, lorsqu'on te donne à factoriser un polynome de degré >= 3, sachant que tu n'es pas censé connaître les racines, il y a forcément une racine évidente, donc retiens bien cette technique !

Yes merci à tous !