Hey. J'ai un peu de mal avec certaines notions donc je vais laisser ce sujet ouvert 3/4 jours.

Pour l'instant j'ai deux questions :

Est ce que si X1 indep avec X3 et X2 indep avec X3 alors X1 + X2 indep avec X3?

Et est ce que si X1, X2, X3 suivent une loi normale centrée réduite et sont indépendantes on peut en tirer un résultat sur la loi d'une CL de X1, X2 et X3 ? (genre X1 + X2 + X3 suit une loi normale? ; genre X1 - 2*X2 + 2*X3 suit une loi particulière ? ou faut forcément revenir à des calculs d'espérance ou de fonctions caractéristiques?)

Merci.

Pour ta première question, ça semble intuitif, mais je crois que c'est faux.
Si X1 ~ B(1/2) (un pile ou face quoi), X2 ~ B(1/2) avec X2 indépendante de X1, et X3 = 1_{X1 = X2} (X3 = 1 si X1 = X2, 0 sinon), je crois que c'est un contre-exemple.

Pour ta seconde question, oui on peut. Ça mène à la définition de vecteur gaussien. On dit qu'un vecteur aléatoire X = (X1,...,Xn) est un vecteur gaussien lorsque toute combinaison linéaire des Xi est une variable gaussienne.
Or on montre que si les X_i sont des gaussiennes non correlées (matrice de covariance diagonale), alors (X1,...,Xn) est un vecteur gaussien. En particulier ça marche si elles sont indépendantes.
Donc oui tes combinaisons linéaires sont des gaussiennes. Et pour trouver leur espérance et leur variance, il suffit d'appliquer les règles de calcul sur les espérances et variances, i.e. linéarité de l'espérance, variance d'une somme de variables indépendantes = somme des variances, et var(aX) = a²var(X).
Dans ton exemple, X1+X2+X3 ~ N(0,3).

Ah nickel merci.
J'ai une autre question.
En fait c'est pour montrer que la fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle symétrique est réelle et paire.

Ok c'est paire mais pourquoi réelle ? Merci.

phi_X(t) = E[cos(tX)] + i*E[sin(tX)]

Et E[sin(tX)] = intégrale sur R de sin(tx)P_X(dx).
Tu coupes en deux l'intégrale, tu fais un changement de variable x -> -x dans l'un des deux morceaux, tu utilises l'imparité du sinus et le fait que P_X(dx) = P_X(-dx).

j'ai un peu honte mais E(sin(tX)) = intégrale sur R de sin(tx)P_X(dx)
= intégrale de -00 à 0 de sin(tx)P_X(dx) + intégrale de 0 à +00 de sin(tx)P_X(dx)

pour la première intégrale, on pose u = -x

donc ça donne l'intégrale de +00 à 0 de sin(-tu)P_X(-du) = intégrale de +00 à 0 de -sin(tu)P_X(du) = intégrale de 0 à +00 de sin(tu)P_X(du) donc au final

E(sin(tX)) = 2*intégrale de 0 à +00 de sin(tx)P_X(dx) ? non ?

où est mon erreur ? je me demande si c'est pas dans l'inversion des bornes lors de mon chgt de variable mais j'ai testé sur plusieurs exemples, ça semble être ok

Oui t'as raison, en fait pas besoin de couper en deux l'intégrale. J'avais en tête une loi à densité mais c'est pas forcément le cas.
Si tu fais directement le changement de variable ça donne intégrale sur R de sin(-tu)P_X(-du) = - intégrale sur R de sin(tu)P_X(du) et là c'est bon.

Bien vu, merci.

Hey. Je m'habitue peu à peu aux probas continues mais là je bloque sur cet exo :

Pour la question 1), je fais la méthode habituelle :

j'introduis donc phi, et ce qui me gêne c'est l'espace d'arrivé de phi. Il faut que phi soit bijective donc je fais ça :

et je trouve que l'ensemble pour que phi soit bijective ça doit être E que j'ai défini comme sur la photo.

Est-ce que c'est bon ?
Merci !

Je trouve l'ensemble des (u,v) tels que u>=1 et 1/u <= v <= u.

ah ouais mea culpa.

Hey j'ai une question.

On dit que si f est une densité, il existe une unique proba tq P(]-00,x]) = intégrale de -00 à x de f

mais est ce que qu'une probabilité peut être liée à 2 densités ? (c'est peut être une mauvaise compréhension de français de ma part)
merci !

Si P est une proba à densité f par rapport à une mesure m (ce qu'on peut noter dP = f dm), alors tu peux modifier f sur un ensemble m-negligeable, ça sera toujours une densité.

Ah oui, en plus je m'étais déjà posé la question, merci.

Salut.

J'ai une question. Je considère (X,Y) un vecteur qui suit la loi uniforme sur le disque unité.
J'en déduis la loi de X et Y : (ils ont même lois)
J'en déduis donc que X et Y sont pas indep.
J'arrive à prouver que E(X) = E(Y) = 0

Mais je souhaite calculer la matrice de dispersion. Avec Fubini, normalement je prouve que E(XY) = 0 donc il me reste à calculer E(X²) ( = E(Y)² ) pour les termes diagonaux.

Donc j'ai l'intégrale de 0 à 1 de x² * sqrt(1-x²) multiplié par une constante.
Mais là je bloque, le changement u = x² ne m'ait pas utile. Et je sais pas quoi faire. Merci !

Et en posant u = sin(x) ça marche pas non plus ?

Au passage, si tu veux vérifier ton résultat :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_du_demi-cercle

pour tes trucs de probas je sais pas .

mais pose u=sin(t)

mince devancé...:hap: