Bonjour, voici l'énoncé de mon exercice :

Je veux donc montrer que A complémentaire est fermé. Je prend une suite de fonctions de A complémentaire qui tend vers f, mon but est de montrer que f€ A complémentaire.

Donc pour tout n €N, il existe xn€[0,1] tel que fn(xn) <= 0
J'ai donc une suite de points de [0,1] qu'on note (xn)n, cette suite étant dans un compact, elle admet une sous-suite convergente. On note x la limite de cette sous-suite convergente.

Donc pour tout n€N, fphi(n)(xphi(n)) <= 0, et par passage à la limite f(x) <= 0.

En faite mon problème réside dans le fait de la manière rigoureuse de prouver une convergence d'un truc du style fn(xn) quand on sait que fn tend vers f en norme sup et xn converge vers x dans R ou [0,1] ?

Si fn converge vers f avec fn négative alors en passant à la limite on a f négative immédiatement . Et f continue car limite uniforme de fonctions continues .

Plus simplement, si tu prends f dans A, par théorème de compacité, f est bornée et atteint ses bornes. Si m est son minimum, m>0. Maintenant, quelque soit g dans E tq ||f-g||>=M/2, g est dans A. Fait un dessin et tu le verras bien.

Le 20 novembre 2017 à 19:40:32 Livia-77 a écrit :
Si fn converge vers f avec fn négative alors en passant à la limite on a f négative immédiatement . Et f continue car limite uniforme de fonctions continues .

fn converge pas forcément vers f négatif. Les fn ne sont pas strictement positifs sur [0,1], c'est tout. Effectivement, f n'est donc pas strictement positif sur [0,1], ça se montre pas l'absurde. Mais la démonstration revient au même que le sens direct, donc autant le privilégier.

Ah oui effectivement je suis alle trop vite