Bonjour
Je ne vois pas pourquoi sin(2n+1)t = Im (e^(i(2x+1)t))
j'ai beau faire le lien avec la formule de moivre, je ne vois pas.
merci à vous

la formule dit que :

[cos(t) + i*sin(t)]^n = [e^(it)]^n = e^(int) = cos(nt) + i*sin(nt)

avec n = 2x+1

e^(i(2x+1)t) = cos((2x+1)t) + i*sin((2x+1)t)
donc Im (e^(i(2x+1)t)) = sin((2x+1)t) par identification

Ah ok merci, c'était tout con
Par contre j'ai une autre question, c'est quoi l'intérêt de ne garder que les entiers k impairs dans l'exercice suivant ?

Si z et z' sont des nombres complexes alors Im ( z + z' ) = Im ( z ) + Im ( z' )
donc

dans ta somme t'as le terme (i*sint)^k = i^k * (sint)^k

si k pair : i^k est égal à -1 ou 1
si k impair : i^k est égal à -i ou i
(tu peux le montrer)

Donc si k pair,
Si k impair, c'est non nul
Donc au final tu regardes que les k impair

( )

PS : fais gaffe j'ai modifié pas mal de fois mon message, celui ci semble être enfin sans erreurs

Le 11 novembre 2017 à 16:19:02 Kwns a écrit :
Si z et z' sont des nombres complexes alors Im ( z + z' ) = Im ( z ) + Im ( z' )
donc

dans ta somme t'as le terme (i*sint)^k = i^k * (sint)^k

si k pair : i^k est égal à -1 ou 1
si k impair : i^k est égal à -i ou i
(tu peux le montrer)

Donc si k pair,
Si k impair, c'est non nul
Donc au final tu regardes que les k impair

( )

PS : fais gaffe j'ai modifié pas mal de fois mon message, celui ci semble être enfin sans erreurs

Merci Kwns

D'ailleurs, tu sais pourquoi on prend (-1)^k et non (-1)^(2k+1) dans l'étape des k impairs ?

Tu dais i^(2k+1) et pas (-1)^(2k+1)

Quand k impair (genre k = 2p+1), i^k = i^(2p+1) = i*(-1)^p
donc au final la partie imaginaire de ton truc pour k impair ça va être genre (-1)^p * le reste avec le p associé à ton k

or p = (k-1)/2

donc t'auras :

somme de k = 0 jusqu'à 2n+1 de [ (-1)^(k-1)/2 * le reste ] et tu ré indexes ta somme

sans noelshack c'est pt moins compréhensible mais ça bugué là donc dis moi si t'as pas compris

Le 11 novembre 2017 à 16:50:01 Kwns a écrit :
Quand k impair (genre k = 2p+1), i^k = i^(2p+1) = i*(-1)^p
donc au final la partie imaginaire de ton truc pour k impair ça va être genre (-1)^p * le reste avec le p associé à ton k

or p = (k-1)/2

donc t'auras :

somme de k = 0 jusqu'à 2n+1 de [ (-1)^(k-1)/2 * le reste ] et tu ré indexes ta somme

sans noelshack c'est pt moins compréhensible mais ça bugué là donc dis moi si t'as pas compris

sisi c'est bon j'ai compris, merci à vous deux

Salut, je reviens sur cet exo car finalement il me reste un problème.

j'arrive pas à trouver comment on passe de la somme qui va de 0 à 2n+1 à celle qui va de 0 à n. je trouve le même résultat qu'eux, sauf que ma somme va toujours de 0 à 2n+1