Salut,
Comme chaque semaine dans ma fac on me donne une liste de 20 démonstration a préparé
Et comme toujours je bloque sur certaine d'entre elle
La 1ere sur laquelle je bloque et qu'il faut démontrer que toute fonction continu f : R- > Z est constante je sais que c'est vrai mais je ne vois pas comment demontrer

la 2eme On peut trouver une fonction f continue sur l’intervalle I = [1, +∞[ telle que f(I) = R. la aussi je pense que c'est vrai mais la aussi je ne vois pas comment le démontrer

et enfin la 3eme : La fonction g definie sur R∗ par se prolonge par continuité en 0, la je ne sais pas comment faire je n'ai pas encore vu ca

Pour la 1 : flemme

Pour la 2 : telle que la question est tournée il suffit de trouver un exemple, ln(x-1) marche j'avais pas vu que c'était sur [1; +inf[

Pour la 3 : il suffit de montrer que la fonction admet une limite finie en 0 en faisant un DL du terme en exponentielle par exemple.

Pour la 2, l'énoncé ne précise pas si la fonction est définie uniquement sur [1, +inf[, dans ce cas on peut se contenter de trouver une fonction qui soit au moins définie et continue sur cet intervalle et dont l'image est dans R.
Un truc bidon du style exp(x) * cos(x) fonctionne

1) si elle n'est pas constante, applique le théorème des valeurs intermédiaires
2) sin(x)*x,
limn->oo sin((4n+1)π/2)(4n+1) =lim sin(2πn+π/2)(4n+1) =+oo
et limn->oo sin((4n+3)π/2)(4n+3) = -oo je te laisse conclure

La 3 on te demande en gros de calculer la limite quand x tend vers 0 et de montrer que ça existe
Si tu as vu les dl go