Bonjours, J'ai un exercice a faire j'ai 20 affirmations et je dois dire si elles sont vrai ou fausses et bien sur les démontrer , Je bloque sur plusieurs d'entre elle :
1 - J'ai pensé au théorème des gendarmes ?
2 -
3 - Je sais que si Un+1 sur Un est égal a un réél compris entre -1 et 1 elle converge mais si c'est sa limite je ne sais pas
4 -
5 - J'ai essayé de trouver une fonction croissante et non dérivable

1. jme demande si la partie entière suffit pas à prouver que non, jte laisse réfléchir

2. Non car si x tend vers 0 par valeurs positives, alors f(x) tend vers pi/2 et si x tend vers 0 par valeurs négatives, f(x) tend vers -pi/2 donc de même, si x tend vers 0 par valeurs positives, comme sin est continue, sinf(x) tend vers sin(pi/2) = 1 et si x tend vers 0 par valeurs négatives, sinf(x) tend vers - 1. Or la limite en 0 existe si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

3. On pose Vn = |Un|, on a Vn+1/Vn qui tend vers L € [0,1[, donc pour a € ]L,1[ (a existe bien), il existe un rang no tq pour tout n > no, Vn+1/Vn < a donc Vn+1 < a*Vn donc tu montres par récurrence que pour tout n > no, 0 < Vn < Vno*a^(n-no) donc comme a < 1, et avec le théorème des gendarmes, (Vn) tend vers 0 donc (Un) aussi. En particulier, (Un) converge.

4. f est définie sur I = [2;3] à valeurs dans R, et f est continue donc f(x) tend vers f(5/2) € R quand x tend vers 5/2 (par ailleurs, une fonction continue sur un segment est bornée donc peut pas tendre vers +oo)

5. Partie entière

Merci