Salut, j'arrive pas à savoir quand est-ce qu'une matrice est diagonalisable sur C ou R.
Je calcule le polynôme caractéristiques et je détermine l'espace propre, mais je suis pas sûr d'avoir compris le truc d'être diagonalisable sur C ou R.

Par exemple si j'ai le polynôme caractéristique (1-X)(i-X)(-i-X), donc en valeurs propres : {-i,i,1}, la matrice est diagonalisable sur C, car elle a des coefficients complexes, mais pourquoi pas sur R, puisque 1 est un coefficient réel ?

Du coup dans quel cas une matrice est à la fois diagonalisable sur C et sur R ?

Merci d'avance

Bah les valeurs propres sont complexes non reelles, donc elle est diagonalisable sur C a priori

Le 23 octobre 2017 à 19:57:20 the_ff3_fan a écrit :
Bah les valeurs propres sont complexes non reelles, donc elle est diagonalisable sur C a priori

Bah du coup dans quel cas une matrice est diagonalisable sur C et sur R à la fois ?

Si les valeurs propres sont reelles

Le 23 octobre 2017 à 20:05:33 the_ff3_fan a écrit :
Si les valeurs propres sont reelles

Du coup si une matrice est diagonalisable sur R elle est forcément diagonalisable sur C ?

Oui

Pour qu'une matrice soit diagonalisable sur un corps K, il faut et il suffit que le polynôme caractéristique soit scindé sur K, et que les sous-espaces propres soient de dimension maximale (i.e. l'ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante dans le polynôme caractéristique).
Il en résulte que si les valeurs propres sont deux à deux distinctes et dans K, la matrice est diagonalisable sur K.
Là ton polynôme est bien scindé sur C (comme tout polynôme non constant à coefficients complexes), mais il n'est pas scindé sur R car il vaut (X-1)(X²+1) et X²+1 ne se factorise pas dans R[X]. Donc ta matrice est C-diagonalisable mais pas R-diagonalisable.

Autre caractérisation (pour la kulture) : polynôme minimal scindé et à racines simples.