Bonjour,

Je poste car j'arrive pas à comprendre quelque chose. Durant un exercice, j'arrive à cette expression :
$\underset{i \in \mathbb{N}}{\sup} \nu_i(\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n) = \underset{i \in \mathbb{N}}{\sup} (\sum_{n \in \mathbb{N}} \nu_i(A_n))=\lim\limits_{i \rightarrow +\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} \nu_i(A_n)$

car on a : $(\nu_i)_{i \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables sur $(E, \mathcal{A})$ qui vérifie : $\forall i\in \mathbb{N} \quad \forall A \in \mathcal{A} \quad \nu_i(A) \leq \nu_{i+1}(A)$

Et en fait j'aimerais bien pouvoir intervenir la somme et la limite, pour avoir cela :
$\sum_{n=0}^{+\infty} \lim\limits_{i \rightarrow +\infty} \nu_i(A_n)$.

Cependant, j'arrive pas à voir ce qui m'autoriserait à faire ça. Je pense qu'il faut utiliser le fait que $(\nu_i)_i$ est une suite croissante et que les termes de la série sont positifs. Mais je n'arrive pas à justifier cette inversion somme/limite.

Merci d'avance !

Les $\nu_i$ sont des mesures plutôt que des fonctions mesurables non ? Je suppose que tu veux montrer que la limite d'une suite croissante de mesures est encore une mesure.

Supposons que la suite $(A_n)$ soit croissante (si c'est pas le cas on s'y ramène facilement en considérant une suite d'unions).
Dans ce cas tu peux facilement montrer ton égalité en utilisant le fait que si $(u_{i,n})$ est une suite double croissante en $i$ et en $n$, alors $\lim_i\lim_n u_{i,n} = \lim_n\lim_i u_{i,n}$.

Convergence monotone

On m'a déjà suggéré le theoreme de convergence monotone, mais je vois pas le lien ? Le theoreme de cvm c'est pour echanger la limite et l'intégrale de suites de fonctions mesurables, ce n'est pas ce que j'ai ni ce que je veux ?

Le 16 octobre 2017 à 19:22:01 WhatTF a écrit :
On m'a déjà suggéré le theoreme de convergence monotone, mais je vois pas le lien ? Le theoreme de cvm c'est pour echanger la limite et l'intégrale de suites de fonctions mesurables, ce n'est pas ce que j'ai ni ce que je veux ?

Je vois pas ce que tu as écris, faute d'avoir installé l'extension LateX, mais pour répondre à ta question: une somme peut être vue comme une intégrale pour une mesure bien précise, la mesure de comptage.
Du coup la plupart des théorèmes d'intégrations restent valables pour les sommes