Salut,

En ce moment on voit les bases duales, et je crois n'avoir jamais fait face à une telle incompréhension en algèbre...

Je connais bien la définition, si on a E un ev et B = (e_1,e_2,...,e_n) une base de E, alors la base duale B* de B est (e*_1,...,e*_n), où e*_i(e_j) = 1 si i=j, 0 sinon.

J'arrive à peu près à comprendre la définition, mais on a fait un exercice d'application en cours, et c'est le flou total.

Soit E = IR^3 muni de la base canonique B = (i,j,k).
Soit e_1 = (1,0,0) ; e_2 = (0,1,0) ; e_3 = (-1,-1,1) tels que B' = (e_1,e_2,e_3).

J'ai montré que B' était une base, ça c'est simple.
Maintenant, c'est pour calculer la base duale de B' que je n'ai pas compris.

Premièrement, on a calculé l'inverse de B, c'est-à-dire B^-1.
Ensuite, on a fait la transposée de B^-1 pour obtenir les vecteurs qui forme la base duale de B'.
Enfin, on a re-calculé l'inverse des vecteurs qui forment la base duale de B' pour obtenir B*.

Je ne comprends pas pourquoi avoir fait toutes ses étapes, je suis complètement perdu.

Merci de m'expliquer

Montre l'énoncé de l'exo parce que là je pige pas tout non plus.

Le 09 octobre 2017 à 15:55:04 Prauron a écrit :
Montre l'énoncé de l'exo parce que là je pige pas tout non plus.

alors,
Soit E = IR^3 muni de la base canonique B = (i,j,k).
On définit e_1 = (1,0,0) ; e_2 = (0,1,0) ; e_3 = (-1,-1,1).

Montrer que B' = (e_1, e_2, e_3) est une base de E et calculer la base duale de B'.
Pour montrer que c'est une base, il suffit de montrer que det(e_1,e_2,e_3) est =/= 0, ça ok.

ensuite pour trouver la base duale on a fait ça :

http://sketchtoy.com/68353487

Pour obtenir les vecteurs qui forment la base duale de B', on fait la transposée de b. Soit B' = b^T
d'où B' = {(1,0,1) (0,1,1) (0,0,1)}

On calcule la base duale de B' notée B' * :

http://sketchtoy.com/68353488

Voilà donc ce qu'on a fait, et je ne comprends pas du tout la logique.