Salut, j'ai quelques problèmes à propos des projecteurs. Je vous mets un screen pour que ce soit plus lisible.

Merci d'avance

Si x est un élément de l'intersection de ker(p) et ker(q), alors on a :
(1) p(x) = 0
(2) q(x) = 0

(2) <=> x - p(x) = 0 <=> p(x) = x.
Puis (1) => x = 0.
Donc l'intersection est bien réduite au vecteur nul.

Maintenant pour montrer que ker(p) + ker(q) = E, il suffit de remarquer que pour tout x de E, on a x = p(x) + q(x).
Or p(x) appartient à ker(q) (ce qu'on peut écrire qop = 0) et q(x) appartient à ker(p) (poq = 0).
Donc tout élément de E s'écrit comme somme d'un élément de ker(p) et d'une élément de ker q, ce qui signifie que E = ker(p) + ker(q).

Pour ta seconde question, je suppose que tu veux dire p(b_i) = b_i ?
Si x appartient à ker(q), alors p(x) = x - q(x) (par définition de q) = x.

Le 01 octobre 2017 à 00:13:03 Prauron a écrit :
Si x est un élément de l'intersection de ker(p) et ker(q), alors on a :
(1) p(x) = 0
(2) q(x) = 0

(2) <=> x - p(x) = 0 <=> p(x) = x.
Puis (1) => x = 0.
Donc l'intersection est bien réduite au vecteur nul.

Maintenant pour montrer que ker(p) + ker(q) = E, il suffit de remarquer que pour tout x de E, on a x = p(x) + q(x).
Or p(x) appartient à ker(q) (ce qu'on peut écrire qop = 0) et q(x) appartient à ker(p) (poq = 0).
Donc tout élément de E s'écrit comme somme d'un élément de ker(p) et d'une élément de ker q, ce qui signifie que E = ker(p) + ker(q).

Pour ta seconde question, je suppose que tu veux dire p(b_i) = b_i ?
Si x appartient à ker(q), alors p(x) = x - q(x) (par définition de q) = x.

Merci beaucoup Prauron, je sais pas ce que je ferais sans toi !