J'ai besoin daide pour mon dm de maths, je vous explique:
Je dois démontrer que Pn est héréditaire en sachant que la proposition Pn est "10^(n) + 1 est multiple de 9"
Je décide donc de faire un raisonnement par récurrence en sautant initialisation étant donné que je sais que cette proposition est fausse en effet 10^(0)+1=2 ; 2 n'est pas un multiple de 9.
Je me retrouve donc avec:
10^(n)=9k-1
or:
10(n+1)=10^(n) * 10
donc:
10^(n+1)+1=10^(n)*10+1
10^(n+1) + 1= (9k-1)*10+1
10^(n+1)+1=90k-10+1
10^(n+1)+1=90k-9
10^(n+1)+1=9(10k-1)

(10k-1) étant un entier, pn est héréditaire. Est ce juste?

Je dois ensuite dire si pn est vraie pour tout entier n appartient a N et il faut que je justifie. Oui mais comment en calculant des termes ?

Puis pour finir je dois dire si Pn est fausse pour tout entier n appartient a N. Je n'arrive pas a voir la différence entre ces deux questions et il faut que je justifie aux deux.

Merci !

Pourquoi tu cherches à démontrer un truc que tu sais faux wtf

Je dois ensuite dire si pn est vraie pour tout entier n appartient a N et il faut que je justifie. Oui mais comment en calculant des termes ?

Bah t'as toi-même dit que ça marchait pas pour n=0

Je suis obligé de montrer que pn est héréditaire et ensuite si pn est vraie ou pas

Je dois ensuite dire si pn est vraie pour tout entier n appartient a N et il faut que je justifie. Oui mais comment en calculant des termes ?

Puis pour finir je dois dire si Pn est fausse pour tout entier n appartient a N. Je n'arrive pas a voir la différence entre ces deux questions et il faut que je justifie aux deux.

La différence c'est que P(n) peut être vrai pour certains entiers naturels et faux pour d'autres.
Du coup s'il existe un nombre k tel que P(k) est vrai, alors comme tu as prouvé que ta propriété est héréditaire ça veut dire que pour tout n>=k P(n) est vrai.
(En fait la seule existence de k suffit mais passons).
Résumons : P(0) est faux donc P(n) n'est pas vrai pour tout n, c'est la première question.
Deuxième question, peux-tu prouver qu'il n'existe pas un k tel que P(k) est vraie, autrement dit que P(n) est faux pour tout n ?

Merci, je viens de comprendre

En gros pour la 2ème question c'est faux car aucun réel K ne peut etre divisé par 9? Pour le démontrer le pourrai faire par exemple 10^(k)+1/9 = 9k ? Merci de m'aider pour la démonstration

Mais comment prouver que c'est faux avec mon raisonnement du dessus ?

Pn = 10^(n) + 1 multiple de 9 revient à dire que 10^(n) + 1 = 9k avec k un réel
Tu initialises = 10^0 + 1 = 2, qui n'est pas un multiple entier de 9, la propriété est fausse au rang 0, est-elle fausse pour tout n ? A partir de là tu montres si elle est héréditaire ou non, et donc fausse pour tout n ou non
On suppose que pour n fixe 10^n + 1 = 9k
Pour n+1 on a 10^n+1 + 1 = 10^n*(9+1) + 1 = 10^n*9 + 10^n +1
= 10^n*9 + 9k -1 + 1 = 10^n*9 + 9k
= (9k-1)*9 + 9k = 81k + 9k - 9 = 90k -9 = 9(10k-9)
Donc elle est héréditaire, donc fausse pour tout n

Plus cohérent et surtout juste, ce qu'a fait Suvcidxl est archi faux.

Il y a même plus simple si on pense au critère de divisibilité par 9

Le 30 septembre 2017 à 14:11:59 Fuligule a écrit :
Plus cohérent et surtout juste, ce qu'a fait Suvcidxl est archi faux.

Il y a même plus simple si on pense au critère de divisibilité par 9

En quoi c'est archi faux ? On a eu cet exo en cours en plus

Le 30 septembre 2017 à 14:12:20 skywear a écrit :
Par exemple "2^n>n " est héréditaire et t'as pas 2^0>0, ça veut pas dire que la propriété est fausse pour tout n...

bah justement tu prouves que la propriété est fausse au rang 0 et héréditaire c'est à dire fausse pour tout n ça revient au même

Je le refais jme suis emmêlé les pinceaux :

2^n >n+1 héréditaire et fausse au rang 0
Mais elle n'est pas fausse pour tout n vu que 2^3>4 par exemple.

bah justement tu prouves que la propriété est fausse au rang 0 et héréditaire c'est à dire fausse pour tout n ça revient au même

Il faut montrer que sa négation est héréditaire, c'est à dire que si P(n) est faux alors P(n+1) est faux.

Toi tu as montré que si P(n) est vrai alors P(n+1) est vrai, mais comme P(0) est faux ça ne nous dit rien sur la suite

Ok, donc je fais un raisonnement par récurrence pour 10^n +1 n'est pas un multiple de 9? Pour la dernière question

louiure

30 septembre 2017 à 14:18:58
Alerte
Ok, donc je fais un raisonnement par récurrence pour 10^n +1 n'est pas un multiple de 9? Pour la dernière question

Oui, c'est une solution.

Autre façon de faire (sans récurrence), utilise le fait qu'un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est égale à 9.

Le 30 septembre 2017 à 14:18:13 Fuligule a écrit :

bah justement tu prouves que la propriété est fausse au rang 0 et héréditaire c'est à dire fausse pour tout n ça revient au même

Il faut montrer que sa négation est héréditaire, c'est à dire que si P(n) est faux alors P(n+1) est faux.

Toi tu as montré que si P(n) est vrai alors P(n+1) est vrai, mais comme P(0) est faux ça ne nous dit rien sur la suite

J’ai montré que la propriété se transmet au rang suivant, donc si elle est fausse au premier rang cette propriété étant la même au rang suivant elle sera toujours fausss donc ça revient au même
Et puis c’est le corrigé du livre en plus

"Je dois ensuite dire si pn est vraie pour tout entier n appartient a N et il faut que je justifie. Oui mais comment en calculant des termes ? "

Pour le coup si la question c'est bien " Est-ce que Pn est vraie pour tout n appartenant à N ", il me semble qu'un seul contre exemple peut te suffir, nop ?