Salut tout le monde,
Y'a un truc que je comprends pas dans le corrigé d'un exo.

Soit (Un) une suite réelle. On suppose que les sous-suites (U_2n) ; (U_3n) ; (U_2n+1) convergent.
Je dois montrer que (Un) converge.

Dans la correction, on applique la définition d'une suite de Cauchy, et on commence par
|U_2p - U_2q| < epsilon
|U_2p + U_2q+1| < epsilon
|U_3p - U_3q| < epsilon
|U_2p - U_2q+1| < epsilon

Déjà, je ne comprends pas pourquoi on commence comme ça.

Ensuite, on fait :

|U_2p - U_6p + U_6p - U_6q+3 + U_6q+3 - U_2q+1| < |U_2p - U_6p| + |U_6p - U_3*(2q+1)| + |U_3(2q+1) - U_2q+1| < 3*epsilon < epsilon

Je comprends bien cet inégalité (inégalité triangulaire, mais pourquoi démarrer de : |U_2p - U_6p + U_6p - U_6q+3 + U_6q+3 - U_2q+1| ? Je ne vois pas non plus le lien avec la première partie

Merci à vous

Bonsoir,

le point central est que :
- U(6n) est une sous-suite de U(2n)
- U(6n+3) est une sous-suite de U(2n+1)
- U(6n) et U(6n+3) sont des sous-suites de U(3n)

Prenons deux rangs, l'un pair et l'autre impair : U(2p) et U(2q+1)

Pas loin de U(2p), se trouve U(6p). Pourquoi pas loin? Car U(6p) et U(2p) sont des termes de la suite U(2n) qui est convergente, c'est donc qu'ils doivent être assez proche l'un de l'autre lorsque p est assez grand.

Pas loin de U(2q+1), se trouve U(6q+3). Pourquoi pas loin? Car U(2q+1) et U(6q+3) sont des termes de la suite U(2n+1) qui est convergente, c'est donc qu'ils doivent être assez proche l'un de l'autre lorsque q est assez grand

Mais U(6p) et U(6q+3) sont des termes de la suite U(3n) qui est convergente, c'est donc qu'ils doivent être assez proche l'un de l'autre lorsque p et q sont assez grands. (bis repetita placent)

En résumé :

U(2p) n'est pas très loin de U(6p) qui n'est pas très loin de U(6q+3) qui n'est pas très loin de U(2q+1)
=> Donc U(2p) et U(2q+1) ne sont pas très loin

Voila le fond de la preuve de ton corrigé.

Le 26 septembre 2017 à 22:38:53 Jooord a écrit :
Bonsoir,

le point central est que :
- U(6n) est une sous-suite de U(2n)
- U(6n+3) est une sous-suite de U(2n+1)
- U(6n) et U(6n+3) sont des sous-suites de U(3n)

Prenons deux rangs, l'un pair et l'autre impair : U(2p) et U(2q+1)

Pas loin de U(2p), se trouve U(6p). Pourquoi pas loin? Car U(6p) et U(2p) sont des termes de la suite U(2n) qui est convergente, c'est donc qu'ils doivent être assez proche l'un de l'autre lorsque p est assez grand.

Pas loin de U(2q+1), se trouve U(6q+3). Pourquoi pas loin? Car U(2q+1) et U(6q+3) sont des termes de la suite U(2n+1) qui est convergente, c'est donc qu'ils doivent être assez proche l'un de l'autre lorsque q est assez grand

Mais U(6p) et U(6q+3) sont des termes de la suite U(3n) qui est convergente, c'est donc qu'ils doivent être assez proche l'un de l'autre lorsque p et q sont assez grands. (bis repetita placent)

En résumé :

U(2p) n'est pas très loin de U(6p) qui n'est pas très loin de U(6q+3) qui n'est pas très loin de U(2q+1)
=> Donc U(2p) et U(2q+1) ne sont pas très loin

Voila le fond de la preuve de ton corrigé.

Merci pour tes explications, je comprends déjà mieux le raisonnement.
Par contre, je ne comprends toujours pas pourquoi on commence comme ça :
U_2p - U_2q| < epsilon
|U_2p + U_2q+1| < epsilon
|U_3p - U_3q| < epsilon
|U_2p - U_2q+1| < epsilon

Merci

Il faudrait pas plutot montrer ue la suite est de Cauchy ?

Sur R une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy.

Par contre, je ne comprends toujours pas pourquoi on commence comme ça :

U_2p - U_2q| < epsilon
|U_2p + U_2q+1| < epsilon
|U_3p - U_3q| < epsilon
|U_2p - U_2q+1| < epsilon

A mon avis tu as mal recopié la correction.

|U_2p - U_2q| < epsilon
|U_3p - U_3q| < epsilon
|U_2p+1 - U_2q+1| < epsilon

Ça ce sont tes trois hypothèses "U_2n converge", "U_2n+1 converge" et "U_3n converge"
(Tout ça est vrai "pour p et q suffisamment grands")

Maintenant ton but c'est de montrer que |U_p - U_q| < epsilon
Si p et q sont tous les deux pairs ou tous les deux impairs, c'est dans tes hypothèses.
Reste le cas |U_2p - U_2q+1|, qui est le reste de ta preuve.