Bonjour,
Si j'ai E l'ensemble des suites numériques réelles. Soit u appartenant à E de terme général Un. Soit S une application qui va de E dans E qui à une suite u associe S(u)=v telle que pour tout n : Vn = Un+1.
Je n'arrive pas à montrer que S(u) est une application linéaire. Je sais qu'il faut que je montre que S(u) + S(v) = S(u+v) et que S(lambda*u) = lambda * S(u), mais je ne sais pas comment démarrer. pourriez-vous me donner un indice svp ?
Merci

Ben calcule S(u) + S(v), puis calcule S(u+v), puis demande toi si tu n'as pas obtenu deux fois la même chose

Donc pour ne pas mélanger, si je prends u' et v' deux vecteurs de E.

S(u')=v et S(v') = v car u' et v' appartiennent à E.
Donc S(u') + S(v') = 2v
Je ne sais pas si mon raisonnement est bon, rt je vois pas comment faire pour S(u'+v')

u c'est une suite.
S(u) c'est une autre suite, avec S(u)_n = u_(n+1). L'application S décale juste les indices d'un cran.
Maintenant S(u) + S(v) c'est aussi une suite, et on a
(S(u) + S(v))_n = S(u)_n + S(v)_n (par définition de la somme sur les suites)
= u_(n+1) + v_(n+1) (par définition de S)
= (u+v)_(n+1) (par définition de la somme sur les suites)
= S(u+v)_n (par définition de S)

Donc on a, pour tout entier n, (S(u) + S(v))_n = S(u+v)_n, ce qui signifie que S(u+v) = S(u) + S(v).
Je te laisse faire l'autre partie, pour voir si tu as compris.

Merci Prauron pour ton aide, j'ai juste une petite question :
Pourquoi S(u)_n et non S(u_n) ?

Sinon pour la suite :

Soient u,v appartenant à E et lambda, noté L, appartenant à IR.

S(L*u+v) = S(L*U)_n + S(V)_n

= (L * U_n+1) + V_n+1
= L * S(U_n) + S(V_n)

Pourquoi S(u)_n et non S(u_n) ?

Fais attention, S prend une suite en argument, donc la deuxième expression n'a aucun sens.
La première par contre est juste car S(u) est aussi une suite.

Merci W_Wenders, je vois la nuance maintenant.

Par contre, si je dois montrer que S(U)_n = U_n+1 est surjective et injective, comment je pourrais faire ?

Pour la surjection, on voit bien que S décale tous les indices de 1, donc l'application à forcément une image par élément.
Pour l'injection, comme tous les indices sont décalés de 1, donc deux éléments ne peuvent pas avoir la même image.

Pour le prouver, je ne vois pas comment par contre

Pour la surjectivité c'est pas très dur en effet, suffit de rédiger avec la méthode habituelle.
Pour l'injectivité oublie pas que S «coupe» u0...

Le 23 septembre 2017 à 18:36:18 W_Wenders a écrit :
Pour la surjectivité c'est pas très dur en effet, suffit de rédiger avec la méthode habituelle.
Pour l'injectivité oublie pas que S «coupe» u0...

Finalement, elle n'est pas surjective, puisque S(U)_0 = U_1, donc U_0 n'a pas d'antécédent par S.
Mais elle est injective car chaque élément a une image différente. C'est ça ?

Finalement, elle n'est pas surjective, puisque S(U)_0 = U_1, donc U_0 n'a pas d'antécédent par S.

S est une application de l'espace des suites dans lui-même. Parler de l'antécédent de U_0 n'a pas de sens.
S est bien une application surjective. Soit u = (u_0,u_1,u_2,... ) un élément de E. Alors, par exemple, la suite v = (1,u_0,u_1,u_2,...) vérifie bien S(v) = u. Donc v est un antécédent de u par S (remarque que tu peux remplacer le 1 par n'importe quel réel).

En revanche S n'est pas injective, puisque par exemple les suites (0,0,0,...) et (1,0,0,0,...) ont la même image.

Merci Prauron pour ta réponse, je comprends mieux.

Sinon, pour montrer que c'est injectif ou non, on peut également regarder si ker S = {0}, mais je ne sais pas comment conclure

ker S = { u ∈ E | S(u)_n = 0}

u ∈ ker (S) <=> S(u)_n = 0 <=> u_(n+1) = 0

Oui, donc maintenant puisque tu veux montrer que Ker S n'est pas {0} (pour dire que c'est pas injectif), il te suffit de trouver une suite non-nulle qui est dans Ker S.

Pour être dans Ker S, tu as dit qu'il faut que u_n+1 = 0 pour tout n. Il te reste à choisir le coef u_0

Le 09 octobre 2017 à 21:07:54 Niverolle a écrit :
Oui, donc maintenant puisque tu veux montrer que Ker S n'est pas {0} (pour dire que c'est pas injectif), il te suffit de trouver une suite non-nulle qui est dans Ker S.

Pour être dans Ker S, tu as dit qu'il faut que u_n+1 = 0 pour tout n. Il te reste à choisir le coef u_0

Je vois ce que tu veux dire, mais je ne vois pas pourquoi c'est valable.

On a S surjectif, mais pas injectif. Pourtant, dans le cas des endomorphismes en dimension finie, injectif = surjectif = bijectif. Donc comment est-ce possible que cet endomorphisme soit surjectif, mais pas injectif ?

-De plus, lorsqu'on a une application f linéaire, alors f(0)=0. Donc pourquoi, dans notre cas, a-t-on le droit de prendre u_0 = 1 par exemple ?

Edit: pour la deuxième question j'ai ma réponse, mais pas pour la première

Pourtant, dans le cas des endomorphismes en dimension finie, injectif = surjectif = bijectif. Donc comment est-ce possible que cet endomorphisme soit surjectif, mais pas injectif ?

La réponse est dans la question : parce qu'on est pas en dimension finie