On commence donc en partant du principe que P != 0 appartient à ker(u) (alors u(P)=0).

Sauf qu'à la fin, on montre que u(P) =/= 0. Absurde. (si j'ai bien compris)

Histoire que ça soit vrai.

Sinon prendre X^r c'est pour montrer qu'une base de R[X] est atteinte par u. Suffit de rédiger deux lignes pour conclure par linéarité sur la surjectivite de u après, même si ta base est denombrable et que t'as probablement pas de théorème dessus dans ton cours.

Le 30 septembre 2017 à 16:14:52 W_Wenders a écrit :

On commence donc en partant du principe que P != 0 appartient à ker(u) (alors u(P)=0).

Sauf qu'à la fin, on montre que u(P) =/= 0. Absurde. (si j'ai bien compris)

Histoire que ça soit vrai.

Sinon prendre X^r c'est pour montrer qu'une base de R[X] est atteinte par u. Suffit de rédiger deux lignes pour conclure par linéarité sur la surjectivite de u après, même si ta base est denombrable et que t'as probablement pas de théorème dessus dans ton cours.

Ok, merci.

Une dernière question par rapport à :

aP'+P = a_n * X^n + Q(x) avec deg(Q(x)) =< n+1 car a_n =/= 0 ce qui est absurde car P € ker(u).

P est de degré n, donc P' est de degré n-1.
a_n * X^n est de degré n, et Q(X) est de degré n-1.

Donc pourquoi ne pourrait-on pas avoir aP'+P - a_n * X^n - Q(X) = 0 ?

Q(X) annulerait aP' (car de degré n-1) et a_n * X^n annulerait P (car de degré n).

aP' + P = 0 puisqu'on a pris P dans ker(u).
Donc on a 0 = a_n X^n + Q(X). Comme Q est de degré < n et que a_n est non nul, le polynôme a_n X^n + Q(X) est de degré n.
Donc on a 0 = un polynôme de degré n, ce qui est absurde.

Le 30 septembre 2017 à 17:54:25 Prauron a écrit :
aP' + P = 0 puisqu'on a pris P dans ker(u).
Donc on a 0 = a_n X^n + Q(X). Comme Q est de degré < n et que a_n est non nul, le polynôme a_n X^n + Q(X) est de degré n.
Donc on a 0 = un polynôme de degré n, ce qui est absurde.

Ah, voilà. Merci Prauron