Hello j'ai une étape dans une demo en analyse que je n'arrive pas à résoudre, un peu d'aide serait la bienvenue !
Soit la suite des approximations successives suivante ( n appartient aux entiers naturels, c'est une contraction donc k est compris entre [0; 1[ ) : xn+1 = f(xn)
Pour tout n >= 1 : | xn+1 - xn | = | f(xn) - f(xn-1) | <= k | xn - xn-1 |
Je dois donc montrer par récurrence que | xn+1 - xn | <= k**n | x1 - x0 | voilà j'imagine que c'est une récurrence toute bête mais quand bien même je n'arrive pas à la faire !

Pour n = 0 c'est clair.

Si tu supposes que la majoration est vraie au rang n, alors au rang n+1 on a
|x_{n+2} - x_{n+1}| = |f(x_{n+1}) - f(x_n)| par définition
<= k|x_{n+1} - x_n| par hypothèse sur f
<= k*k^n |x_1 - x_0 par hypothèse de récurrence
= k^{n+1} |x_1 - x_0|, ce qui achève la récurrence.

OMG merci je suis tellement stupide ! Décidément les vacances d'été ont été longues !