Hey

Dans mon cours il est dit "on appelle tribu borelienne de R, la tribu engendrée par tous les sous intervalles de R"

Mais une tribu borelienne d'un espace métrique c'est pas pas la tribu engendrée par sa topologie (l'ensemble de ses ouverts) ?

Et autre question, pq s'il existe une fct F tq F croit, F continue à droite et la limite de F en -oo est 0 et en +oo est 1, alors il existe une unique mesure de proba tq P(]a,b]) = F(b) - F(a) ?

La demo est trop dure ?

Merci.

En décomposant par composantes connexes et en cherchant des rationnels, tu montres que tout ouvert de lR est union dénombrable d intervalles ouvertes, ainsi la tribu engendrée par les ouverts de lR est la même que celle engendrée par les intervalles ouvertes

Il me semble que la démonstration de ta deuxième proposition repose sur le théorème d extension de Carathéodory qui n'est pas facile à montrer

C'est la mesure de (Lebesgue-) Stieltjes et oui de mémoire c'est relou..

Ok limit mais là ça veut donc dire que sous intervalles = intervalles ouverts ?

Je ne pense pas que ça ait une quelconque importance.
Si je prends un intervalle ]a,b[.
En prenant l'intersection dénombrable ]a-1/n,a+1/n[ on obtient le singleton {a}
de même pour {b}
Par union finie on a les intervalles [a,b], [a,b[, ]a,b]

Pour ta deuxième question, tu peux regarder le théorème 3.5.1 (ii) page 40 :
https://www.math.u-psud.fr/~jflegall/IPPA2.pdf

(et au passage tu peux regarder le reste du pdf, c'est un très bon cours de théorie de la mesure / probas)

Merci à vous.
J'ai d'autres questions.

Soit (Oméga, T, P) ensemble de probabilité.
Soit X une application de Oméga dans R.
Si X^(-1) ( ]-oo,a] ) € T pour tout a € R, alors X est une v.a.r mais pourquoi ?

On sait que X est une var si la tribu engendrée par X est inclus dans la tribu T mais le fait de considérer que ]-oo,a] ça retire pas certains intervalles de R ([1,2] par exemple) ?

On est d'accord pour dire qu'une intersection INFINIE d'éléments d'une tribu, est un élément de la tribu?

Et dernière question (pour le moment ) :
Si X1,...,Xn sont des var et f : R^n -> R une fonction cpm, alors Y = f(X1,...,Xn) est une va.

J'ai essayé de faire une démo mais j'vois pas où intervient le fait que f est cpm ?

Merci !

(Ah et pq le fait qu'une fonction de répartition d'une variable X soit croissante, alors Fx admet des limites finies à gauches et à droite ? )

Tu peux faire des différences pour retrouver des intervalles bornées
Une tribu est stable par intersection finie dénombrable, pas par intersection infinie quelconque.
Une fonction croissante admet des limites à gauche et à droite en tout point car elle croît (utiliser la caractérisation séquentielle + théorèmes sur les suites monotones)

En passant, il faut que f soit cpm pour qu'elle stabilise la tribu, en quelquesorte