Soit phi(n) une application injective de N* dans N*.
Montrer que la série de terme général phi(n)/n^2 diverge.

J'aimerais bien montrer que phi est équivalent à n mais j'ai pas trop d'idée ( ça a l'air vrai cela dit )

Montrer qu'elle est pas de cauchy ça peut marcher

Si on regarde la somme partielle S au rang N, on peut la minorer en remplaçant phi par une application bijective de [1,N] dans [1,N].
Une fois qu'on a cela, il existe pleins de façons de procéder, personnellement celle que je préfère le plus est d utiliser l inégalité de réordonnement pour minorer S par le N ième nombre harmonique

Le 29 août 2017 à 23:02:17 StrandedHorse2 a écrit :
Montrer qu'elle est pas de cauchy ça peut marcher

Je sais pas ce que c’est

Le 29 août 2017 à 23:07:15 LimitX a écrit :
Si on regarde la somme partielle S au rang N, on peut la minorer en remplaçant phi par une application bijective de [1,N] dans [1,N].
Une fois qu'on a cela, il existe pleins de façons de procéder, personnellement celle que je préfère le plus est d utiliser l inégalité de réordonnement pour minorer S par le N ième nombre harmonique

Je vais essayer, en plus je connaissais pas ton inégalité elle peut servir par la suite, merci

Je croyais que c'était au programme ça résout de manière relativement simple ton exo

Les suites de cauchy ont été retirés du programme de MPSI/MP...

Ah bon ? j'ai vu la définition sur internet et je vois pas omment tu peu l'utiliser

En général tu regardes un accroissements comme S(2n)-S(n) et tu montres qu'il tend pas vers 0, ici c'est plus grand que 1/(4n^2) somme des k=n+1 a 2n de phi(k) et cette somme est plus grande que n(n+1)/2 car tu envoies k sur au moins 1 et Phi est injective..
Au final c'est >1/8 donc S(n) n'est pas de cauchy

Si c était convergent, S(2n)-S(n) tendrait vers 0.
Par contraposée on a la conclusion souhaitée, pas besoin de cauchy

Le 29 août 2017 à 23:43:26 LimitX a écrit :
Si c était convergent, S(2n)-S(n) tendrait vers 0.
Par contraposée on a la conclusion souhaitée, pas besoin de cauchy

Si on veut pas utiliser de gros mots oui

Tu peux pas minorer comme ça stranded horse

Le 30 août 2017 à 00:13:41 CicatriceGamer a écrit :

Tu peux pas minorer comme ça stranded horse

C'est pas ça la série
C'est somme de k=1 à n de phi(k) / k^2

Ah oui j'avais mal lu pardon
Donc c'est bon

Bon c'est vrai que du coup ma méthode est trop brutale.
Elle a en revanche le mérite de remarquer que la croissance minimale de la série correspond à phi=id