Salut

J'essaie de faire un exo d'analyse mais je bloque un peu, voilà l'énoncé :

Soit (Pn) une suite telle que (n/Pn) tend vers 0.

Montrer que la limite quand x tend vers 1- de (1-x)*"somme des x^Pn" vaut 0.

Une idée ?
Merci !

Indice : commence par traiter le cas explicite où $P_n = Cn$, avec $C$ une grande constante positive. (Oui, l'hypothèse essentielle n'est pas vérifiée, mais 'presque' si $C$ est grande, après tout.) Calcule explicitement ce que vaut dans ce cas
$$(1-x)\sum_{n=0}^{\infty} x^{P_n}. $$
Maintenant, que se passe-t-il si $C$ tend vers l'infini ? Comment modifier les calculs précédents pour répondre au problème initial ?

À toi de jouer.

Sans la limite déjà ça fait (1-x)/(1-x^C), ou 1/(1+x+x2+...+x^(C-1)) qui tend vers 1/(C-1).

Donc quand C tend vers l'infini, la limite tend vers 0.

Maintenant dans le cas n=o(Pn), pour tout C positif, Pn dépasse C.n à partir d'un certain rang M.
Il suffit alors de découper la somme en deux (la somme jusqu'à M, puis la somme de M+1 à l'infini) puis de majorer la deuxième par la somme des x^Cn, et de laisser tomber la première partie qui est constante (avec la (1-x) en facteur ça tend vers 0)

Donc le tout tend vers 0, il suffit de fixer Eps>0, de majorer la première somme par Eps/2 à partir d'un certain rang, puis de choisir un C tq 1/(C-1) soit plus petit que Eps/2 pour majorer l'autre partie de la somme à partir du rang M.

On est bon ?
Merci beaucouo en tout cas, c'état un exo de l'X à ce qu'on m'a dit :oui

Ah non pardon la première somme n'est pas constante mais borné entre 0 et une constante positive (M+1) mais ça change rien

J'aime quand les taupins font leur boulot.

Quoique, j'avais pas vu les détails, y'a un léger souci dans l'ordre des choix que tu fais. D'abord tu choisis $C$, puis il te vient un certain $M$ qui va te donner la coupure de ta série. Dans tes deux dernières lignes, tu choisis $M$ avant $C$, c'qui marche moins bien. Modulo ce détail, la démo est correcte.

Ah bah j'ai peut-être rédigé un peu vite

Merci beaucoup

Ah et d'ailleurs (1-x)/(1-x^C) ça tend vers 1/C, pas 1/(C-1) (c'est un taux d'accroissement)

À part ça il devrait plus y avoir d'erreur

Hachino , tu saurais expliquer d'ou sors l'idée de poser que la suite est constante ?

Pas constante, linéaire. Sinon c'est pas très compliqué : j'ai juste approximé l'infini par des nombres très grands. Puisque l'énoncé suppose que le quotient $\frac{P_n}{n}$ tend vers l'infini, j'ai commencé par le supposer 'seulement' très grand pour voir ce qui se passe. Ensuite, tu prends une limite à la hache (cf le début du post de Bahar), puis tu bricoles la rédaction pour rendre ton intuition rigoureuse (cf la fin de son post). Paf, c'est dans la boîte.