Hey.

Sachant que E est un ev et que u € L(E,F), si f est differentiable c'est à dire que f(a+h)=f(a) + u(h) + ||h||E(h) avec E(h) qui tend vers 0 quand h tend vers 0, c'est quoi le domaine de def de h? Pq on met une norme sur le h avant le epsilon? h tend vers 0 par valeurs positives ou aussi par valeurs négatives?

Merci.

Salut,

il me semble que la définition que tu donnes de différentiabilité est imprécise, je me permets de la corriger :

Soit E,F deux EVN. Soit U un ouvert de E. On dit qu'une application f définie de U dans F est différentiable en a (appartenant à U) lorsqu'il existe une application linéaire et continue u de E dans F telle que l'on a le développement limité suivant : f(a+h)=f(a)+u(h)+||h||E(h) lorsque h -> 0.

1) "le domaine de def de h" je pense que tu veux dire le domaine de définition de f : c'est l'ouvert U. Si tu t'intéresses à la différentiabilité en un certain point a dans U, alors les h de la définition sont tels que a+h est dans U. De tels h existent forcément vu qu'il existe une boulé ouverte centrée en a incluse dans U.

2) "Pq on met une norme sur le h avant le epsilon? " je pense que tu dis ça parce que tu es habitué à la lecture des développements limités habituels de R dans R. Sauf que là l'ensemble de départ et d'arrivé est quelconque, il faut donc garder une certaine cohérence dans l'homogénéité de l'égalité.

à gauche de l'égalité on a f(a+h), qui appartient à F. Ce qui est à droite doit donc appartenir à F pour que ce soit homogène.
à droite on a f(a) et u(h) qui appartiennent bien tout deux à F.
l'application E a pour ensemble d'arrivée est F, et h appartient à E. on ne peut pas multiplier des éléments de F par des éléments de E. on choisit donc de passer à la norme le h, ce qui nous donne ||h||E(h) : un scalaire multiplié par un élément de F, ce qui donne bien un élément de F.

3) "h tend vers 0 par valeurs positives ou aussi par valeurs négatives?" cette question n'a vraiment de sens que dans le cas très précis où E = R. Dans ce cas, h tend vers 0 par valeurs positives ainsi que par valeurs négatives. (et alors si F = E = R, la différentiabilité est équivalente à la dérivabilité) Sinon imaginons que E=R², et h se balade dans une boule ouverte autour du point a dans R². Quel sens cela aurait-il de parler d'"approcher a par la droite ou par la gauche" ? Aucun. C'est pour cela que dans la définition on ne parle pas de faire tendre h à droite ou à gauche puisqu'il y a des espaces dans lequel cela n'a pas de sens.