On a an et bn deux suites, (a_n)^n tend vers u et (b_n)^n tend vers v et u et v dans R+*
déterminer la limite de [(an+bn)/2]^n

Déjà j'ai que an et bn tendent vers 1 donc on peut faire un DL si on passe à l'exp mais bon ça aide pas trop..
des idées ?

Salut,

Je crois qu'on ne peut rien dire de la limite de ((an+bn)/2)^n sans plus d'hypothèse.

Avec an = bn = 1, ça tend trivialement vers 1.
Par contre avec an=1 et bn = 1+1/sqrt(n) j'ai trouvé que ça tendait vers +inf

D'ailleurs avec an = 2 et bn = 2/n ça tend vers e, on pouvait dire ça aussi

Ca risque d'être dur de trouver un résultat général du coup, ça dépend vraiment du comportement de an+bn autour de 2.

Dans ton deuxième exemple bn^n tend vers +inf donc ça respecte pas les hypothèses
pareil pour la deuxième, bn^n tend vers 0 alors que u et v sont dans R+*

On prends (a+b)^n/2^n on factorise par a, on passe à l'exp pour la partie (1+b/a)^n et là comme a^n=u+o(1), ln(a)=ln(u)/n+o(1/n) puis a=exp(ln(u)/n+o(1/n) ) et pareil pour b donc on remplace b/a par exp(ln(v)/n-ln(u)/v+o(1/n)) puis on fait le DL à l'ordre 1 de l'exp, puis celui de ln à l'extérieur et on obtient racine de uv

Regarde bien, dans la première bn tend vers 1

Et dans la deuxième on peut prendre an=1 et bn=1 + 1/n si tu préfères

bn = 1 + 2/n pour la deuxième *

Pour les cas où u+v est différent de 1 voilà comment je vois les choses :

Si u+v<1 : an+bn < (u+v+1)/2 à partir d'un certain rang (pour justifier, on fait un dessin ou on dégaine les epsilon). Comme ce nombre est strictement plus petit que 1, ((u+v+1)/2)^n tend vers 0.
Par majoration, (an+bn/2)^n tend vers 0.

Pareil si c'est >1, sauf qu' il faudra minorer pour montrer que ça tend vers +inf

nan mais c'est faux ce que tu dis
la réponse c'est sqrt(uv)

et dans les exemples que tu donnes je vois pas le problème

Oui c'est (a_n)^n qui tend vers u et pas a_n, c'est ma faute j'ai mal lu l'énoncé
Sympa cet exo du coup

D'ailleurs cica tu sais pourquoi le site de troeschest mort ?

Il le refait entièrement pour faire un truc moins flippant je crois
genre il met pas 4800 DM, mais un DM fondamental par thème

Ah je l'ai aussi dans mon devoir d'été.
J'ai posé Un = an^n - u, Vn = bn^n -v puis des dl de Un et Vn puisque qu'ils tendent vers 0

Ça donne un truc dégueu sur une page pour moi mais j'obtiens sqrt(uv)

Ah
Je vois toujours pas comment tu fais, envoie stp

Sinon Cica t'as pas les archives ?

bah moi j'ai encore le site comme avant parce-que c'est un peu chelou son machin, même en vidant le cache du navigateur sa page se rafraichit pas réellement, c'est encore affiché comme avant donc je vois tout

Et t'as moyen d'envoyer les liens ou pas ?

Je pense mais j'vais pas envoyer tous les pdf du sites donc tu veux quoi ?

Ce que je te disais c'est si t'as pas myen d'ebvoyer une version archivee.

ah non je crois pas