Pour déterminer les variations d'une suite, on utilise communément la technique consistant à étudier le signe de U(n+1)-U(n) qui est en quelque sorte un taux d'accroissement discret.

Mais on peut aussi parfois utiliser une autre technique, faisant intervenir le rapport U(n+1)/U(n), technique qui est plus laborieuse étant donné qu'elle nécessite de connaitre non seulement le signe de (U(n)) mais aussi la valeur du quotient. Ce qui est plus compliqué que simplement étudier le signe d'une différence.

Donc voilà, la dérivée qu'on utilise est en quelque sorte l'extension de la technique du "U(n+1)-U(n)" à un domaine continu.

Donc analoguement, existe-t-il une extension de la technique du rapport U(n+1)/U(n) au domaine continu ? Si oui, comment on appelle ce genre de "dérivées" ?

J'ai pensé à définir un truc du genre lim quand h tend vers 0 de (f(x+h)/f(x))^(1/h) mais j'ai des doutes

L'exposant 1/h serait, dans le contexte d'un quotient, l'équivalent en quelque sorte du dénominateur du taux d'accroissement

Et petite correction : on cherche pas à déterminer la valeur de U(n+1)/U(n) mais savoir si c'est plus petit que 1 ou pas.

prends le log de ta "dérivée" et regarde à quoi ça ressemble quand h tend vers 0

Ça existe bien https://en.m.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_calculus

J'ai essayé de comprendre graphiquement à quoi pouvait correspondre f*(x) (lisez le wiki pour comprendre ce que c'est)

Et du coup je crois comprendre que ça correspond à la base de la courbe exponentielle "tangente" en ce point, ie f*(x_0)=a où a correspond a y=a^(x)b avec la courbe de y "tangente" à f en x_0

Voilà pour l'anecdote

Tiens, c'est marrant ton histoire, même si in fine ça revient à une sorte conjugaison de l'intégrale par l'exponentielle (c'est pas vraiment une conjugaison parce que l'exponentielle est pas linéaire, m'enfin ça en a la tronche).

Oui en effet, la dérivée multiplicative d'une fonction strictement positive (si elle existe) est finalement exp(f'(x)/f(x))

Tandis que l'intégrale multiplicative est exp(intégrale(ln(f(x)))

D'ailleurs la fonction (à priori elle est unique) dont la dérivée multiplicative est elle même est exp(exp(x))

Ça se vérifie assez facilement avec les formules que j'ai donné plus haut

Autre anecdote, les fonctions exponentielles c'est-à-dire les fonction du type a^(x)b
avec a et b strictement positifs admettent pour derivée multiplicative a, et donc les équations des "tangentes" exponentielles c'est tout simplement la fonction elle même en tout point.

On peut faire l'analogie finalement avec les droites pour les dérivées classiques

Du coup je comprends géométriquement à quoi correspond une dérivée multiplicative.

Par contre pour les intégrales multiplicatives je sais pas si on peut trouver une explication géométrique a l'instar des aires pour les intégrales classiques

C'est en quelque sorte un "produit continu" mais je sais pas a quoi ça pourrait correspondre géométriquement, peut être a rien...

Et aussi j'ai oublié de le préciser mais la dérivée multiplicative permet d'étudier les variations d'une fonction strictement positive sur un intervalle

f*(x)=1 --> f est constante
f*(x)>1 --> f est strictement croissante
f*(x)€]0,1[ --> f est strictement decroissante

D'ailleurs on peut définir une "valeur moyenne géométrique" d'une fonction strictement positive grâce à l'intégrale multiplicative

Intéressant.