Bonjour,

J'ai plusieurs petites questions à propos des groupes libres.

En fait, on a déjà deux définitions équivalentes (encore heureux ) :

1) Si G est un groupe et S une partie de G, on dit que G est libre de base S si tout élément de G peut s'écrire de manière unique comme produits d'éléments réduits de S et de S^-1. Ce groupe est donc unique à isomorphisme près.

2) (propriété universelle) Soit S un ensemble. Soit o : S -> G inclusion canonique. Alors le groupe G est libre de base S si et seulement si pour tout groupe G' et toute application f : S -> G' il existe un unique morphisme f' : G -> G' tel que f(o(s)) = s pour tout s de S (en gros f(o) prolonge f sur S).

On trouve aussi la propriété universelle sous la forme : le groupe libre sur un ensemble S est le groupe F contenant S et caractérisé par la propriété universelle suivante : pour tout groupe G et toute application f : S → G, il existe un unique morphisme de groupes de F dans G prolongeant f.

Donc déjà dans un des cas on a S qui doit être inclus dans l'ensemble des éléments de G, et dans l'autre cas on a une injection canonique de S dans G, en gros si je comprends bien étant donné que la nature des éléments (ceux de S et ceux de G) sont pas forcément les mêmes, on les identifie "naturellement" ?

Sinon pour la construction du groupe libre sur S, je l'ai vu surtout comme cela : on construit l'ensemble des mots sur SUS^-1 qu'on muni d'une opération de concaténation, et on dit que deux mots sont équivalents si on peut les reliés via des xx^-1 ou x^-1x. Cette relation qu'on appelle ~ est une relation d'équivalence et F(S) = M(S)/~ muni de la concaténation (un peu particulière car à chaque fois on doit enlever les xx^-1 ou x^-1x lorsqu'on concatène).

Maintenant, si j'ai un groupe G et je veux montrer qu'il est libre, comment faire ? Si je construis un isomorphisme entre F(S) (défini comme M(S)/~) et G, c'est bon a priori, non ? Mais si je veux utiliser la propriété universelle, j'ai du mal à voir comment faire, ça m'a l'air plus compliqué.

Ensuite, d'après la première définition donnée, si (G,*) est un groupe libre et S une partie de G, on a forcément l'isomorphisme :
f : F(S) -> (G,*)
$s_1^{e_1}...s_n^{e_n} -> s_1^{e_1} * s_2^{e_2} ... * s_n^{e_n}$

et vis versa non ? Si on construit une telle application et qu'il s'avère que c'est un isomorphisme, on a forcément G groupe libre dans S non ? Donc finalement, est-ce qu'on a l'équivalence G groupe libre dans S <=> il existe un tel isomorphisme ?

Bref, c'est surement un peu confus, c'est pour ça que je poste ici, si quelqu'un peut m'aider à faire le point, merci d'avance !

Quand j'ai dis :
"si (G,*) est un groupe libre et S une partie de G, on a forcément l'isomorphisme :"

bien sûr c'est si G est un groupe libre de base S, je me suis un peu trompée quand j'ai écris...

Salut,
il faut t'habituer en maths à ce qu'on abuse de l'équivalence entre "être une partie de ..." et "s'injecter dans ...".

Quand ils disent que tu as une injection canonique de S dans G, c'est simplement pour dire qu'on a une partie de G en bijection avec S, mais qu'on peut par exemple voire S comme un ensemble d'indices et pas comme des éléments de G pour simplifier la notation.
Par exemple, si tu regardes le groupe libre sur une base finie à n éléments, t'as envie de pouvoir utiliser n'importe quel ensemble à n éléments pour jouer le rôle de S, puisque tous les groupes libres sur une base à n éléments sont isomorphes.

Pour montrer qu'un groupe est libre en exploitant la propriété universelle, tu peux le faire de la manière suivante :
Déjà, si ton groupe doit être libre de base S, donc il va falloir trouver l'injection i de S dans G qui convient.
Ensuite, par propriété universelle, tu as un unique morphisme f de F(S) vers G qui prolonge i.
Il faut montrer que f est surjective, donc que tout élément de G s'écrit comme un mot composé des éléments de S et de S^(-1), et que f est injective, donc qu'aucun mot ne s'annule dans G à part le mot trivial.

En fait, c'est exactement ce que tu t'attendrais à montrer pour justifier qu'un groupe est libre.
Et sinon, tu as aussi des résultats plus puissants pour montrer qu'un groupe est libre. Le lemme du ping-pong par exemple : https://en.wikipedia.org/wiki/Ping-pong_lemma

Enfin, pour ta dernière question, ce que tu dis est vrai.
C'est tautologique avec la première définition.
Avec la propriété universelle, il faut écrire un peu plus, mais c'est un raisonnement assez classique. En fait, c'est le même genre de raisonnement que pour justifier de l'unicité du produit tensoriel de deux modules, si tu as déjà fait un peu d'algèbre commutative.
Tu as un unique morphisme de F(S) vers G qui prolonge l'injection de S dans G et tu as également un unique morphisme de G vers F(S) qui prolonge l'injection de S dans F(S). Il s'agit simplement de montrer que ces morphismes sont inverses l'un de l'autre. Mais tu peux le voir facilement parce qu'en composant les deux, tu obtiens un endomorphisme de F(S) (ou de G selon dans quel sens tu composes) qui fixe S. Et par propriété universelle à nouveau, cet endomorphisme est bien l'identité sur F(S) (resp. sur G).

Merci énormément des explications, c'est très clair !

J'ai encore une question, donc je me permet de remonter le sujet. Au départ, j'étais partie du principe qu'on définissait $G$ le groupe libre sur $S$ de telle sorte que $S$ était inclus dans $G$ (au sens des ensembles, et non de l'existence d'une injection de $S$ dans $G$). Jusque là, tout marchait bien. Mais là, j'ai voulu redéfinir les groupes libres sur $S$ comme étant $(G,i)$ avec $i$ une injection de $S$ dans $G$.

Donc concernant la construction du groupe libre $F(S)$, c'est toujours pareil (en prenant les mots sur $S$, puis l'ensemble quotient par la relation d'équivalence qui va bien, etc.), et avec $j$ l'injection de $S$ dans $F(S)$ qui à chaque $s \in S$ associe sa classe d'équivalence dans $F(S)$. Et donc le groupe libre sur $S$ (défini à isomorphisme près) est $(F(S), j)$.

Sauf que maintenant, j'aurais aimé montrer que si $(G,i)$ est libre sur $S$ et contient $S$, alors tout élément de $G$ peut s'écrire comme produits réduits d'éléments de $S$ et d'inverses de $S$. Sauf qu'à priori, en essayant de démontrer la propriété, je trouve cet énoncé vrai pour non pas l'ensemble $S$ mais l'ensemble $i(S)$. Est-ce correct ? Ca me semble correct, puisque je peux très bien prendre un ensemble $S$ différent de la base de $G$ mais de même cardinal et dans $G$, et tel que $S$ ne soit pas forcément la base de $G$ mais $i(S)$ le soit.

Enfin, si quelqu'un peut m'éclairer là-dessus... Merci d'avance

A priori si j'ai bien compris, tout $g \in G$ peut s'écrire comme produits d'éléments et d'inverses d'éléments de $S$ si et seulement si $(G,i)$ est le groupe libre avec $i$ l'injection canonique de $S$ dans $G$ (en gros $i(s) = s$ pour tout $s \in S$). Sinon tout $g \in G$ peut s'écrire, en général, comme produits d'éléments et d'inverses d'éléments de $i(S)$.

Je peux avoir une confirmation ?