Salut tout le monde,
j'ai l'exo suivant avec ce que j'ai fait :

1. Etablir l'équation complexe du cercle de centre Ω d'affixe ω et de rayon r.

http://sketchtoy.com/68144853

2. Soit ε l'ensemble des points M d'affixe z tels que | z - i | = sqrt(2). Identifier ε.

ε est le cercle de rayon 2 et de centre i.

3. Donner l'équation complexe de ε.

http://sketchtoy.com/68144864

Soit f l'application de C dans C telle que f(z) = -((i / 2)*z) - i
4. Démontrer que f est une bijection et donner son application réciproque f-1.

Je ne vois pas comment faire

5. Vérifier le résultat en calculant pour z € C, f o f-1(z) et f-1 o f(z).

A compléter

6. Donner l'équation complexe de l'image de ε par l'application f. La caractériser.

A completer

Merci de corriger d'éventuelles erreurs et de me guider pour les questions qui suivent.

Niveau ?

L1

HELP

Le rayon c'est sqrt(2).

Pour montrer que c'est une bijection et du même coup trouver la réciproque il suffit de montrer que l'équation (d'inconnue z) w = f(z) admet une unique solution. Cette solution est une fonction de w, et cette fonction c'est ta réciproque.

Le 08 juin 2017 à 21:41:25 Prauron a écrit :
Le rayon c'est sqrt(2).

Pour montrer que c'est une bijection et du même coup trouver la réciproque il suffit de montrer que l'équation (d'inconnue z) w = f(z) admet une unique solution. Cette solution est une fonction de w, et cette fonction c'est ta réciproque.

Merci Prauron.

Mais l'équation d'inconnue z, c'est celle de la question 3 ? car du coup je n'ai plus de w.

Je pense que tu as mal compris ce que je voulais dire.
w est un complexe quelconque (tu peux l'appeler y si tu veux, pour pas faire de confusion).
w = f(z) <=> w = (-i/2)z - i <=> ... <=> z = truc en fonction de w
Ce qui montre que pour tout complexe w, il existe un unique complexe z tel que f(z) = w, ce qui est la définition d'une bijection. Et la bijection réciproque c'est la fonction "truc en fonction de w".

Alors du coup à la place de poser w, j'ai posé y pour ne pas confondre avec ω.
Voilà ce que j'ai :

http://sketchtoy.com/68146806

du coup, f-1 = -2 ( y+i ) / i

Tu peux pas écrire f^(-1) = -2 ( y+i ) / i. Soit tu écris f^(-1)(y) = -2 ( y+i ) / i, soit tu écris f^(-1) : y -> -2 ( y+i ) / i.

Sinon le résultat est bon mais tu peux le mettre sous forme algébrique ça sera plus propre.

D'accord! Alors du coup sous forme algébrique j'ai f^-1 (y) = 2*i*y - 2

J'ai f o f^-1 (z) = y
et f^-1 o f (z) = z

Du coup il me reste la question 6, et je bloque aussi.