Soit u un endomorphisme symétrique positif ; montrer qu'il existe un unique endomorphisme symétrique positif v tel que u = v²

Voici une démo.
Je comprends pas certaines choses.

Pourquoi la somme des dimensions des sous-espaces propres liés à uj est inférieur ou égale à n ? pourquoi pas égal ?

Ca veut dire quoi v est complétement déterminé par ses valeurs propres et ses sev propres ? j'avais pensé au fait que tout vecteur de E s'écrit comme combinaison linéaire de vecteurs propres mais ça c'est vrai que si v est diagonalisable. Donc si v ne l'est pas, est il encore déterminé par ses caractéristiques propres ?

Merci beaucoup !

Pour la somme des dimensions, on a pas besoin d'avoir égal à n, inférieur ou égal suffit.
v est déterminée puisque tu peux écrire sa matrice dans la base formée des vecteurs propres.
Une manière plus rapide pour voir tout ça, c'est de dire que u est symétrique positive donc diagonalisable avec matrices de passage orthogonales avec des valeurs propres réelles positives.
Dans une bonne base, la matrice de u est donc A = P*diag(a1,....,an)*P^-1
On remarque aisément que (P*diag(sqrt(a1),....,sqrt(an))*P^-1)² = A et qu'on a bien une matrice symétrique positive ...