Trois matrices carrées, réelles de taille n A, B, C tq CA = BC avec rg C = r.
Montrer que A et B ont au moins r valeurs propres communes, comptées avec leur ordre de multiplicité.

Voilà ce que j'ai fait :

Dans une base, C est Jr. Donc on a A qui est égale à :

M 0
C D

Et B :

M E
0 F

où M, C, D, E, F sont des matrices (avec M € Mr(R))
je sais donc que le spectre de M est inclus dans le spectre de A et qu'il est aussi inclus dans le spectre de B

Mais d'où je trouve r valeurs propres communes à partir de là ?

Merci !

Tu confonds pas équivalence et similitude ?

Si oui pardon mais à peu de choses près c'est ça. Du moins, la fin avec spectre de M inclus dans Celui de A et B reste vrai. Comment faire ensuite ?

Ben si t'as montré que sp(A) contient sp(M) et sp(B) contient sp(M) c'est bon non ? Les r valeurs propres communes c'est les r valeurs propres de M.

Ah oui, j'avais mal compris ! je croyais r valeurs propres distinctes ! merci !

J'ai encore un exo classique que je n'arrive pas à faire:

soit une famille de k matrices Ai, carrées de taille n telles que pour tout i, Ai² = Ai et somme des Ai = In
Montrer que si i=/=j alors AiAj = 0

J'en ai fichtrement aucune idée.
J'ai réussi à montrer que les Ai n'étaient pas inversibles et que les Ai sont des projecteurs donc semblable à Jri (où ri = rang(Ai)) ou encore diagonalisable

Mais sinon ? Une piste pour commencer?

Discute des espaces Ker(Ai-Id) et Ker(Aj-Id) pour i différent de j (par exemple, sont ils en somme directe?)

Bon, j'y arrive pas.

Si X € aux deux espaces alors AiX = X et AjX = X donc AiAjX = X mais après je bloque.
De plus j'imagine que AiAj € aux deux espaces qui sont en somme directe de AiAj = 0 mais pour que AiAj € aux deux se alors ils devraient commuter et je sais pas si c'est possible
et je vois pas où intervient l'hypothèse des In

bref, c'est pas encore ça, j'arrête et je re essayerai demain matin, si je n'y arrive pas, je reviendrai à la charge

merci !

Non, je n'y arrive pas.
Quelqu'un pour m'aider ?
Merci.

Tu as n projecteurs p1 p2 ... pn
Je note p = p1+p2+...+pn, ton hypothèse c'est que p = id
rg(p) = tr(p) = tr(p1+..+pn) = tr(p1)+..+tr(pn)=rg(p1)+..+rg(pn)

c'est cette hypothèse qui est forte puisque à priori, Im(p) = Im(p1+...+pn) est strictement inclus dans Im(p1) + ... + Im(pn)

Mais là on a bien plus fort du coup puisque Im(p) = Im(p1)+..+Im(pn) qui est une somme directe puisque dim(Im p) = dim(Im p1 + .... Im pn) = dim(Im p1) + ... + dim(Im pn)

Avec ça c'est pas très difficile de conclure, si je calcule pi(pj(x)) je calcule l'image d'un élément de Im pj par pi donc j'ai p(pj(x)) = pj(x) = pj(pj(x)), la décomposition étant directe j'ai donc que tous les pi envoient pj(x) sur 0 d'où pi(pj(x)) = 0

Déjà merci pour ta réponse, je pensais avoir compris mais j'ai un doute. A quoi sert l'hypothèse im(p) inclus dans Im(p1) + ... Im(pn) ?

On en a besoin pour dire que c'est supplémentaire ? On peut pas dire que les im(p1) + ... im(pn) sont en somme directe et que les Im(pj) sont des sev de Im(p) ?

qqch m'échappe ! merci !